Colisión de electrones y fotones

Question

Así que el electrón que se mueve a la izquierda ( $v_{initial}=0.8c$ ) choca con el fotón que va hacia la derecha. Después de la colisión el electrón se mueve hacia la derecha ( $v_{after}=0.6c$ ) y el fotón se mueve hacia la izquierda. ¿Cuál es la longitud de onda $\lambda_{initial}$ del fotón antes de la colisión.

Así que sólo estamos en el eje x y $cos\phi=-1$ porque no hay dispersión $\phi =180^0$ . Y creo que tenemos que establecer las ecuaciones para la preservación del momento lineal y la energía. ¿Algo como esto? $$\begin{align} E_{initial}&=E_{final} \\ p_{initial,x} &= p_{final,x} \\ \end{align}$$ No estoy seguro de cuáles son las fórmulas para el momento lineal y la energía del fotón y del electrón. ¿Alguna ayuda? $$\begin{align} E_{initial}&=E_{final} \\ \frac{hc}{\lambda}+\gamma m_e c^2 &= \frac{hc}{\lambda^´}+\gamma^´ m_ec^2 \\ \end{align}$$ Donde $p=\frac{h}{\lambda}$ et $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ et $\gamma^´ =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^´2}{c^2}}}$ ?

Y para el impulso: $$\begin{align} p_{initial,x} &= p_{final,x} \\ \frac{h}{\lambda}-\gamma m_e v &= \frac{h}{\lambda^´}cos\phi-\gamma^´ m_e v^´ cos\phi \\ \frac{h}{\lambda}-\gamma m_e v &= -\frac{h}{\lambda^´} + \gamma^´ m_e v^´ \\ \end{align}$$

Y ahora tengo que ecuaciones con 2 incógnitas $\lambda$ (lo que quiero saber) y $\lambda^´$ . ¿Puede alguien verificar esto antes de que empiece a resolver este sistema?:D

$$\begin{cases} \frac{hc}{\lambda}+\gamma m_e c^2 &= \frac{hc}{\lambda^´}+\gamma^´ m_ec^2 \\ \frac{h}{\lambda}-\gamma m_e v &= -\frac{h}{\lambda^´} + \gamma^´ m_e v^´ \\ \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda^´} &= \gamma^´ m_ec^2 - \gamma m_e c^2 \\ \frac{h}{\lambda}+\frac{h}{\lambda^´} &= \gamma^´ m_e v^´ +\gamma m_e v , & \text{let's multiply this with $c$} \\ \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda^´} &= \gamma^´ m_ec^2 - \gamma m_e c^2 \\ \frac{hc}{\lambda}+\frac{hc}{\lambda^´} &= \gamma^´ m_e v^´ c +\gamma m_e v c \\ \end{cases}$$ $$\lambda = \frac{2hc}{\gamma^´ m_ec^2 - \gamma m_e c^2 + \gamma^´ m_e v^´ c +\gamma m_e v c}?$$ $$\lambda = \frac{2\times1.239eV\mu m}{\frac{0.511\times 10^6\frac{eV}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{(0.6c)^2}{c^2}}}(c^2+0.6c^2)+\frac{0.511\times 10^6\frac{eV}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{(0.8c)^2}{c^2}}}(0.8c^2-c^2)}\approx 3.0\times 10^{-6} \mu m?$$

Creo que es demasiado pequeño... esperaba una longitud de onda en $nm$ . Maldita sea, creo que está mal :(

Answer 1

$p_{photon} = \frac{h}{\lambda}$ con su energía $E_{photon} = pc$

El momento de un electrón es como el de cualquier otro objeto. No olvides tener en cuenta los efectos relativistas.

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Ahora tienes dos ecuaciones y dos variables indeterminadas, por ejemplo:

$a +b = 1$ et $2a - b = 0$

Una forma de solucionarlo es reordenar la primera a $a = 1-b$ e insertarlo en la ecuación 2, resolver para b y luego encontrar a con cualquier ecuación inicial.

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Has estropeado los vectores en tu ecuación del momento. Elige a la derecha como positivo y a la izquierda como negativo. Usted encontrará que antes de la colisión $p_{photon}$ es positivo y $p_{electron}$ es negativo y viceversa después de la colisión.

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Trate de evitar el uso de eV (y otras unidades que no sean IS) si puede. Me parece que es otra forma de introducir errores en los cálculos.

En primer lugar, su expresión de la energía cinética relativista es errónea.