Puntos de equilibrio de la EDO $y'=\sin y−\frac{y}{2}$ .

Question

Encuentra los puntos de equilibrio de la EDO, e investiga su estabilidad:

$$y'=\sin y\frac{y}{2}.$$

Sé que los puntos de equilibrio son aproximadamente $1.9$ , $-1.9$ y $0$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo llegar a ese punto.

Seguí adelante e intenté crear un gráfico para encontrar la estabilidad del problema. Obtuve esto (perdona mi pobre trabajo artístico): http://i.imgur.com/5kxSb1g.png

De esto deduzco que en $+1.9$ et $-1.9$ la solución es estable, y en $0$ es inestable debido a la división. Sería genial si alguien confirmara esto.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Pistas:

• Encontramos los puntos de equilibrio encontrando el punto o puntos en los que $y' = 0 \rightarrow \sin y - y/2 = 0$ . Se obtienen las tres raíces mencionadas.
• Aquí hay un retrato de fase para los tres puntos.

¿Ves los campos de dirección y cómo se comportan para los tres puntos críticos? ¿Conclusiones? Sólo tienes que añadir la dirección a tu resultado y quizás más puntos iniciales. Tus conclusiones son correctas, pero sin los campos de dirección, no estoy seguro de cómo has llegado a ellas.

Answer 2

Para hallar el equilibrio, hay que establecer $y'=\sin y-\frac y2=0$ y obtendrá tres puntos $0,y_+,y_-$ .

Para determinar la estabilidad, primero investigamos $y^*=0$ y considerar la aproximación de primer orden $$y'\approx y-\frac y2=\frac12y$$ Y la solución es como $y=Ce^{x/2}$ Sabemos que es inestable en cero.

Entonces, alrededor de $y_+$ podemos escribir $y=\pi+\epsilon$ y obtener la ecuación de aproximación $$y'=\sin(\pi+\epsilon)-\frac y2=-\sin\epsilon-\frac y2\approx-\epsilon-\frac y2=\pi-\frac32y$$ Con el mismo método, sabemos que es un punto estable. Del mismo modo se puede determinar la estabilidad de $y_-$ y lo dejo como un ejercicio.