Desglósalo:
La afirmación es: "para todos $\epsilon>0$ , $Q$ debe ser cierto". Donde $Q$ representa la afirmación "hay algún $\delta>0$ tal que, para todo $x$ , si $0<|x-a|<\delta$ entonces $|f(x)-l|<\varepsilon$ '.
Claramente la negación de esto es: "hay algo de $\epsilon>0$ para lo cual $Q$ no es cierto".
¿Cuál es la negación de $Q$ ? La declaración $Q$ es, 'hay algo de $\delta>0$ tal que $R$ es verdadero" donde $R$ es el resto de la declaración. La negación de $Q$ es entonces, 'no hay $\delta>0$ tal que $R$ es verdadera" o, de manera equivalente, "para todos los $\delta>0$ , $R$ no es cierto".
¿Cuál es la negación de $R$ ? La declaración $R$ es, "para todos $x$ , $S$ es verdadero" donde $S$ es el resto de la declaración. Su negación es claramente, 'hay algún $x$ para lo cual $S$ no es cierto".
Por último, la declaración $S$ es, si $0<|x-a|<\delta$ entonces $|f(x)-l|<\epsilon$ . ¿Cómo puede ser esto falso? Esto puede ser falso sólo cuando $0<|x-a|<\delta$ es cierto y al mismo tiempo $|f(x)-l|<\epsilon$ no es cierto.
Ponerlo todo junto:
Hay algunos $\epsilon>0$ para lo cual $Q$ no es cierto
O
Hay algunos $\epsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ , $R$ no es cierto
O
Hay algunos $\epsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ Hay un poco de $x$ para lo cual $S$ no es cierto.
O
Hay algunos $\epsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ Hay un poco de $x$ para lo cual $0<|x-a|<\delta$ pero no $|f(x)-l|<\epsilon$ .
Le sugiero que lea un libro sobre matemáticas discretas. Te explicará cómo escribir estos enunciados utilizando símbolos lógicos y cómo negarlos de forma fácil e inmediata. Tu afirmación en símbolos lógicos es: $$\forall \epsilon >0\,\,\exists \delta >0\,\, \forall x(0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-l|<\epsilon)$$ Usando hechos como: $\neg\forall x\,\, P(x)$ equivale a $\exists x\,\, \neg P(x)$ , $\neg\exists x\,\,P(x)$ equivale a $\forall x\,\,\neg P(x)$ et $\neg(P \implies Q$ ) equivale a $P \land \neg Q$ se puede llegar fácilmente a la negación de la afirmación anterior que es, en símbolos lógicos:
$$\exists \epsilon >0\,\,\forall \delta >0\,\,\exists x\,\,(0<|x-a|<\delta \land |f(x)-l|\geq \epsilon)$$
Los símbolos $\forall$ , $\exists$ , $\land$ , $\implies$ et $\neg$ significan, respectivamente, 'para todos', 'existe', 'y', 'implica' y 'negación de'.