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La negación de una condición límite, al estilo de Spivak.

Me quedé atascado en esta parte de Spivak Cálculo :

Al demostrar que $f$ hace no acercarse a $l$ en $a$ Asegúrate de negar la definición correctamente:

Si es no Es cierto que

por cada $\varepsilon>0$ hay algo de $\delta>0$ tal que, para todo $x$ , si $0<|x-a|<\delta$ entonces $|f(x)-l|<\varepsilon,$

entonces

hay algunos $\varepsilon>0$ tal que para cada $\delta>0$ hay algunos $x$ que satisface $0<|x-a|<\delta$ pero no $|f(x)-l|<\varepsilon.$

No entiendo por qué la negación de la frase superior viene dada por la frase inferior.

¡Muchas gracias!

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Mi problema es no por qué "las funciones continuas son las que te permiten intercambiar límites". Es más bien una pregunta sobre cómo se pueden negar frases en general.

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Wilfred Springer Puntos 141

Desglósalo:

La afirmación es: "para todos $\epsilon>0$ , $Q$ debe ser cierto". Donde $Q$ representa la afirmación "hay algún $\delta>0$ tal que, para todo $x$ , si $0<|x-a|<\delta$ entonces $|f(x)-l|<\varepsilon$ '.

Claramente la negación de esto es: "hay algo de $\epsilon>0$ para lo cual $Q$ no es cierto".

¿Cuál es la negación de $Q$ ? La declaración $Q$ es, 'hay algo de $\delta>0$ tal que $R$ es verdadero" donde $R$ es el resto de la declaración. La negación de $Q$ es entonces, 'no hay $\delta>0$ tal que $R$ es verdadera" o, de manera equivalente, "para todos los $\delta>0$ , $R$ no es cierto".

¿Cuál es la negación de $R$ ? La declaración $R$ es, "para todos $x$ , $S$ es verdadero" donde $S$ es el resto de la declaración. Su negación es claramente, 'hay algún $x$ para lo cual $S$ no es cierto".

Por último, la declaración $S$ es, si $0<|x-a|<\delta$ entonces $|f(x)-l|<\epsilon$ . ¿Cómo puede ser esto falso? Esto puede ser falso sólo cuando $0<|x-a|<\delta$ es cierto y al mismo tiempo $|f(x)-l|<\epsilon$ no es cierto.

Ponerlo todo junto:

Hay algunos $\epsilon>0$ para lo cual $Q$ no es cierto

O

Hay algunos $\epsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ , $R$ no es cierto

O

Hay algunos $\epsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ Hay un poco de $x$ para lo cual $S$ no es cierto.

O

Hay algunos $\epsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ Hay un poco de $x$ para lo cual $0<|x-a|<\delta$ pero no $|f(x)-l|<\epsilon$ .


Le sugiero que lea un libro sobre matemáticas discretas. Te explicará cómo escribir estos enunciados utilizando símbolos lógicos y cómo negarlos de forma fácil e inmediata. Tu afirmación en símbolos lógicos es: $$\forall \epsilon >0\,\,\exists \delta >0\,\, \forall x(0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-l|<\epsilon)$$ Usando hechos como: $\neg\forall x\,\, P(x)$ equivale a $\exists x\,\, \neg P(x)$ , $\neg\exists x\,\,P(x)$ equivale a $\forall x\,\,\neg P(x)$ et $\neg(P \implies Q$ ) equivale a $P \land \neg Q$ se puede llegar fácilmente a la negación de la afirmación anterior que es, en símbolos lógicos:

$$\exists \epsilon >0\,\,\forall \delta >0\,\,\exists x\,\,(0<|x-a|<\delta \land |f(x)-l|\geq \epsilon)$$

Los símbolos $\forall$ , $\exists$ , $\land$ , $\implies$ et $\neg$ significan, respectivamente, 'para todos', 'existe', 'y', 'implica' y 'negación de'.

4voto

Pedro Tamaroff Puntos 73748

En primer lugar, hay que ver por qué la negación de " para todos " es " existe ". ¿Cómo puede la declaración que dice "para todos $x$ es cierto que $P(x)$ ¿"fallar"? Bueno, basta con que te muestre uno $x$ tal que $P(x)$ es falso, es decir, el llamado contraejemplo. Y esto significa que $$\forall x:P(x)$$ se niega como $$\exists x:\neg P(x)$$

Ahora, hay otra parte de la definición del límite que utiliza otro símbolo lógico, a saber $$|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\epsilon$$

Se trata de una declaración de la forma $P\to Q$ . ¿Y cómo puede ser esto falso? Estamos diciendo que $P$ implica $Q$ . Tenga en cuenta que entonces si $P$ es cierto pero $Q$ es falso, $P\to Q$ no se sostiene. Además, es un buen ejercicio ver que $P\to Q$ es lo mismo que $\neg P\text{ or } Q$ . Así, vemos que la negación de $P\to Q$ es $P\text{ and } \neg Q$ Es decir $P$ tiene, sin embargo $Q$ no lo hace. Ahora, la declaración de continuidad es $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0(\forall x,|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

"Para cada $\epsilon >0$ existe $\delta>0$ tal que para cada $x$ , $|x-a|<\delta$ implica $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ ."

Por lo tanto, podemos negar esto como $$\exists \epsilon >0,\forall \delta >0(\exists x,|x-a|<\delta \text{ yet }|f(x)-f(a)|\geq \epsilon)$$ "Existe $\epsilon>0$ tal que para cualquier $\delta >0$ existe $x$ con $|x-a|<\delta$ Sin embargo, $|f(x)-f(a)|\geq \epsilon$ ".

(Obsérvese que la negación de $a<b$ es $a\geq b$ )

1voto

Robert Mastragostino Puntos 10105

La primera, para ser cierta, tiene que trabajar para cada epsilon. Como tal, un solo epsilon que no funcione lo refutará: si existe incluso un contraejemplo, la afirmación superior no puede ser cierta.

Del mismo modo, para que la declaración superior funcione sólo tengo que ser capaz de proporcionar algunos delta que hace el trabajo. Otros podrían no hacerlo, pero yo sólo necesito proporcionar uno de forma fiable para hacer mi caso. Así que la negación significa que no puedo encontrar nada en absoluto .

La negación de "hay al menos uno que funciona" es "no hay ninguno que funcione", y la negación de "funciona para todos" es "no funciona para al menos uno". Decir lo contrario (es decir, que "funciona para todos" se convierte en "no funciona para ninguno") dejaría fuera los casos en los que algunos funcionan y otros no. Es como afirmar que lo contrario de OR es AND, en lugar de NOR. Se pierden los casos intermedios y no se obtiene nada lógicamente consistente.

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