cuántos puntos pertenecen a la cuádrica $x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$ en $\mathbb{P}_3$ en $\mathbb{F}_9$

Question

Tengo un problema con la siguiente pregunta: ¿cuántos puntos pertenecen a la cuádrica $x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$ en $\mathbb{P}_3$ en $\mathbb{F}_9$ .

Cómo he intentado resolver este problema. Aquí tenemos $9^4$ conjuntos de $x_i$ pero para cada conjunto podemos elegir sólo 3 primeros valores ( $x _0$ , $x_1$ et $x_2$ ), entonces podemos contar $x_3$ para cada triplete. Así que tenemos $9^3$ conjuntos. Entonces, para cada conjunto de $x _0$ , $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ que es la solución $ax _0$ , $ax_1$ , $ax_2$ , $ax_3$ también es una solución ( $a$ es un elemento no nulo de $\mathbb{F}_9$ ). Así que tenemos $(9^3-1)/8=91$ opciones. Pero sigue siendo demasiado. Y no conozco ninguna otra forma de contar la cantidad de puntos.

Perdón por mi inglés, ¡gracias!

Answer 1

Puedes intentar un enfoque de fuerza bruta: Simplemente haga que un pequeño programa de ordenador itere sobre todos los valores posibles para su $x_i$ . Por ejemplo, en Sage:

from itertools import product
F9 = FiniteField(9)
len([(a,b,c,d) for a,b,c,d in product(F9, repeat=4) if a*a+b*b+c*c+d*d==0])

Encontrarás 801 combinaciones. Una de ellas es el vector nulo. Y para cada uno de los otros valores, se obtiene $9-1=8$ posibles representaciones de cada punto. Así que tienes 100 puntos en tu cuádrica. Por supuesto, si ya usas Sage para la aritmética de campos finitos (como hago yo porque soy perezoso), también puedes dejarle el resto:

P3.<x0,x1,x2,x3> = ProjectiveSpace(3, F9)
s = P3.subscheme(x0^2+x1^2+x2^2+x3^2)
s.count_points(1)         # 1 because we want this for field of size 9^1
len(s.rational_points())  # without len this gives you the coordinates