¿Grupos = simetrías?

Question

La tradición en física tiende a hacer coincidir el concepto de grupo con el de "simetría". ¿Hay buenas y/o profundas razones para hacerlo?

Si nos atenemos al contenido intuitivo de "simetría", esta palabra debería reservarse a los grupos ortogonales y unitarios. De acuerdo, muchos grupos abstactos (de Lie) tienen buenas representaciones en grupos unitarios, pero en general ninguna de estas representaciones es inyectiva, por lo que el grupo no es isomorfo a un subgrupo de un grupo unitario.

En esos casos, ¿no es un abuso del lenguaje seguir refiriéndose a los miembros de ese grupo de Lie como "simetrías"?

Y lo que es peor: mucha gente lo hace no sólo con los grupos de Mentira, sino con el concepto general de grupo.

Answer 1

Las simetrías son mapas de un objeto a sí mismo que preservan alguna estructura. El mapa de identidad es siempre una simetría, la composición de dos simetrías es una simetría, y las simetrías son generalmente invertibles (ya sea porque un mapa no invertible destruiría la estructura, o porque decretamos que las simetrías tienen que ser biyectivas).

Por lo tanto, el conjunto de simetrías de cualquier objeto forma naturalmente un grupo, con la operación de composición.

Si tienes cuatro partículas idénticas, por ejemplo, cualquier permutación de esas partículas es una simetría, ya que el estado anterior a la permutación es indistinguible del estado posterior. Así que decimos que $S_4$ es el grupo de simetrías de $4$ objetos idénticos. No es necesario limitarse a los grupos unitarios y ortogonales. No todas las simetrías son transformaciones de espacios de producto interno.