Necesito ayuda para probar $\lambda \notin \sigma(M_f) \implies \lambda \notin \text {ess ran} f.$

Question

Dejemos que $(X,\mathcal A, \mu)$ sea un espacio de medidas y que $f \in L^{\infty} (\mu).$ Dejemos que $M_f$ denotan el operador de multiplicación en $L^2(\mu).$ Entonces demuestre que $\lambda \notin \sigma (M_f) \implies \lambda \notin \text {ess ran} f.$

Si $(M_f - \lambda)$ es invertible, entonces está acotado por debajo, es decir, existe $\alpha \gt 0$ tal que $\|(M_f - \lambda)h\|_2 \geq \alpha \|h\|_2,$ para todos $h \in L^2(\mu).$ ¿Implica esto de todos modos que $\lambda \notin \text {ess ran} f\ $ ? ¿Podría alguien darme alguna pista para proceder?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Sugerencia: (Esto supone un análisis funcional)

Dejemos que $B:=\mathscr{B}(L^2(\mu))$ sea el conjunto de operadores lineales acotados sobre $L^2(\mu)$ . Se trata de un unital $C^*$ -y el álgebra, y $A:=L^\infty(\mu)$ es un unital $C^*$ -subálgebra de $B$ (más precisamente, el mapa $f\mapsto M_f$ es una incrustación isométrica y $M_1=1_B$ ). De ello se desprende (véase 11.29 en la obra de Rudin Análisis funcional (página 296 de la segunda edición)) que $$\sigma_A(f)=\sigma_B(M_f)$$ (de hecho, $x$ es invertible en $A$ si es invertible en $B$ ).

Todo esto te dice que puedes trabajar con la invertibilidad en $L^\infty(f)$ que es más sencillo de tratar.