Prueba $W_1 \cap W_2 \cap W_3$ es distinto de cero.

Question

Dejemos que $W$ sea un espacio de 7 dimensiones. Demostrar que para cualquier subespacio de 5 dimensiones $W_1,W_2,W_3 \subset W$ la intersección $W_1 \cap W_2 \cap W_3$ es distinto de cero.

Answer 1

Una pista: $2+2+2<7$ .

Podría ayudar a considerar el complemento.

Answer 2

Prueba por contradicción. Supongamos que no, entonces $W_1$ y $W_2 \cap W_3$ son disjuntos. Toma una base de cada uno. Como son disjuntas puedes combinar estas dos bases para obtener un conjunto linealmente independiente en $W$ . Esto demuestra que:

$$\dim W_1 + \dim(W_2 \cap W_3) \leq \dim W$$

por lo que

$$\dim(W_2 \cap W_3) \leq 2.$$

¿Es esto posible si ambos $W_2$ y $W_3$ son $5$ -¿dimensional? Para ver tomar una base para $W_2 \cap W_3$ y luego extender esto a una base para $W_2$ y una base para $W_3$ . Estos vectores son todos linealmente independientes por lo que no puede haber más de $7$ de ellos. Cuéntalos y mira cuántos consigues realmente.