Dejemos que $W$ sea un espacio de 7 dimensiones. Demostrar que para cualquier subespacio de 5 dimensiones $W_1,W_2,W_3 \subset W$ la intersección $W_1 \cap W_2 \cap W_3$ es distinto de cero.
Respuestas
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Calvin Lin
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user56747
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Prueba por contradicción. Supongamos que no, entonces $W_1$ y $W_2 \cap W_3$ son disjuntos. Toma una base de cada uno. Como son disjuntas puedes combinar estas dos bases para obtener un conjunto linealmente independiente en $W$ . Esto demuestra que:
$$\dim W_1 + \dim(W_2 \cap W_3) \leq \dim W$$
por lo que
$$\dim(W_2 \cap W_3) \leq 2.$$
¿Es esto posible si ambos $W_2$ y $W_3$ son $5$ -¿dimensional? Para ver tomar una base para $W_2 \cap W_3$ y luego extender esto a una base para $W_2$ y una base para $W_3$ . Estos vectores son todos linealmente independientes por lo que no puede haber más de $7$ de ellos. Cuéntalos y mira cuántos consigues realmente.
