Equivalencia de normas en $L_p$ espacios.

Question

Dejemos que $(f,g) \in {W_0}^{1,p}(0,1) \times {L^p}(0,1), p\in[1,\infty]$ . Quiero demostrar la equivalencia de las dos normas $${\left\| {{{{f_x} - g} \over 2}} \right\|_p} + {\left\| {{{{f_x} + g} \over 2}} \right\|_p}$$ y el habitual $${\left\| {{f_x}} \right\|_p} + {\left\| g \right\|_p}.$$ La prueba es sencilla si $p=2$ . ¿Qué hay de un arbitrario $p$ . ¿Te parece bien? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $M=\left\|\dfrac{a+b}{2}\right\|_{L^{p}}+\left\|\dfrac{a-b}{2}\right\|_{L^{p}}$ entonces la desigualdad de Minkowski da $M\leq\left\|\dfrac{a}{2}\right\|_{L^{p}}+\left\|\dfrac{b}{2}\right\|_{L^{p}}+\left\|\dfrac{a}{2}\right\|_{L^{p}}+\left\|\dfrac{-b}{2}\right\|_{L^{p}}=\|a\|_{L^{p}}+\|b\|_{L^{p}}$ .

Por otro lado, $\|a\|_{L^{p}}=\left\|\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2}\right\|_{L^{p}}\leq\left\|\dfrac{a+b}{2}\right\|_{L^{p}}+\left\|\dfrac{a-b}{2}\right\|_{L^{p}}$ y $\|b\|_{L^{p}}=\left\|\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2}\right\|_{L^{p}}\leq\left\|\dfrac{a+b}{2}\right\|_{L^{p}}+\left\|\dfrac{a-b}{2}\right\|_{L^{p}}$ Así que $\|a\|_{L^{p}}+\|b\|_{L^{p}}\leq 2\left(\left\|\dfrac{a+b}{2}\right\|_{L^{p}}+\left\|\dfrac{a-b}{2}\right\|_{L^{p}}\right)$ .