Los números reales y el axioma de fundamento

Question

Estoy teniendo un poco de confusión sobre los números reales y la teoría de conjuntos ZF (hice una pregunta al respecto hace unos días). Estoy un poco inseguro de por qué los números reales pueden estar en cualquier modelo de ZF, ya que parecen contradecir el axioma de fundamento (regularidad), es decir, que para cada conjunto $X$ y $Y\subseteq X$ $\exists a\in Y:\forall b\in Y ((b\neq a)\ b<a)$

Muchas gracias por cualquier ayuda

Answer 1

El axioma de regularidad establece que $\in$ está bien fundamentada. En concreto, si $A$ es un conjunto no vacío, entonces $(A,\in_A)$ (la relación de pertenencia restringida a $A$ ) tiene un elemento mínimo.

A diferencia de los números naturales [léase: ordinales finitos], que son objetos inherentes al universo de ZF, la ordenación de los números reales no está definida por $\in$ . Sin embargo, se puede definir por $\subseteq$ que a su vez es definible.

Sin embargo, no se exige que $\subseteq$ está bien fundado, y de hecho no lo está.

Answer 2

El axioma de fundación dice que para cada conjunto no vacío $Y$ sostiene que $\exists a\in Y:\forall b\in Y \neg(b\in a)$ . Esto significa que cada conjunto es fundado con respecto a la $\epsilon$ -relación.

Si los números reales estuvieran bien fundados con respecto a la $<$ -tendríamos para cada conjunto no vacío $Y$ de números reales que $\exists a\in Y:\forall b\in Y \neg(b< a)$ . Esto es efectivamente falso ya que el ejemplo $Y=(0,1)$ espectáculos.

Dado que las relaciones $\epsilon$ y $<$ no tienen que estar de acuerdo en $\mathbb{R}$ Esto no es en absoluto contradictorio. Algunas relaciones están bien fundadas, otras no.