ecuación con funciones exponenciales 3

Question

Resuelve la siguiente ecuación sobre los números reales (sin utilizar el cálculo) $$(\frac{1}{2})^{1+x}+(\frac{1}{6})^{x}-\sqrt{2}\cdot(\frac {\sqrt{2}}{6})^x=1$$

Simplemente no encuentro un punto de partida sólido; creo que puede ser una notación que desconozco; sí conozco la raíz de la ecuación $x=-1$ gracias a Wolfram, pero me interesan más los pasos para determinarlo.

Answer 1

Para deshacerse de todas las fracciones, ponga $y=-x$ para conseguir $$2^{y-1}+6^y-\sqrt{2}(3\sqrt{2})^y=1,$$ de lo cual se desprende rápidamente que $y=1$ es una solución. Además, reordenando se ve que $$1-2^{y-1}=6^y-\sqrt{2}(3\sqrt{2})^y=3^y(2^y-\sqrt{2}^{y+1})\tag{1},$$ y si $y\neq1$ entonces $2^y-\sqrt{2}^{y+1}\neq0$ y así encontramos que $$3^y=\frac{1-2^{y-1}}{2^y-\sqrt{2}^{y+1}}=-\frac{1}{2}-\sqrt{2}^{-y-1},$$ donde el lado izquierdo es positivo y el derecho negativo, una contradicción. Por lo tanto, no hay solución con $y\neq1$ es decir, la solución única es $y=1$ .

Answer 2

Una pista:

Primero reescribe como:

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+\left(\frac{1}{6}\right)^{x}-\sqrt{2}\cdot\left(\frac {\sqrt{2}}{6}\right)^x=1$$

Ahora se trata de sustituir los exponenciales por otras variables:

$$y=\left(\frac {1}{\sqrt{2}}\right)^x$$ $$z=\left(\frac {1}{3}\right)^x$$

Entonces: $$\frac{1}{2} y^2+y^2 z-\sqrt{2} yz=1$$

Answer 3

Tenemos que resolver eso $$\frac{3^{x}}{2}+1-(\sqrt2)^{x+1}=6^x$$ o $$3^x\left(2^x-\frac{1}{2}\right)+(\sqrt2)^{x+1}-1=0$$ o $$3^x\left((\sqrt2)^{x+1}-1\right)\left((\sqrt2)^{x+1}+1\right)+2\left((\sqrt2)^{x+1}-1\right)=0$$ o $$\left((\sqrt2)^{x+1}-1\right)\left(3^x\left((\sqrt2)^{x+1}+1\right)+2\right)=0$$ o

$$(\sqrt2)^{x+1}=1,$$ que da $x=-1.$