Hartshorne Propuesta 9.5

Question

La proposición es que : Sea $f:X\longrightarrow Y$ sea un morfismo plano de esquemas de tipo finito sobre un campo $k$ . Para cualquier punto $x\in X$ , dejemos que $y=f(x)$ . Entonces $\dim_x(X_y)=\dim_x(X)-\dim_y(Y)$ . Aquí para cualquier esquema $X$ y cualquier punto $x\in X$ , por $\dim_x(X)$ nos referimos a la dimensión del anillo local $\mathcal{O}_{x,X}$ .

Comienzan la prueba de la siguiente manera :

Primero hacemos un cambio de base $Y'\longrightarrow Y$ donde $Y'=\textrm{Spec } \mathcal{O}_{y,Y}$ y considerar el morfismo $f':X'\longrightarrow Y'$ donde $X'=X\times_{Y} Y'$ . Entonces $f'$ también es plana, $x$ ascensores a $X'$ y los tres números son iguales.

¿Qué se entiende por : $x$ ascensores a $X'$ . No es la imagen inversa, porque la imagen inversa podría contener más de un elemento. ¿Qué significa?

Gracias de antemano.

Answer 1

@poorna La respuesta a tu pregunta se desprende de la propiedad universal del producto fibra:

Tenemos el producto de fibra

$$\begin{array} X\ \ \ X' & \stackrel{}{\longrightarrow} & X \\ \ \ \downarrow{f'} & & \downarrow{f} \\ Spec(\mathscr O_{Y,y}) & \stackrel{j_y}{\longrightarrow} & Y \end{array} $$

Considere el anillo local $A = Spec(\mathscr O_{X,x})$ . Debido a la propiedad universal del producto fibra el cuadrado conmutativo que define en sentido topológico $x$ y $y=f(x)$

$$\begin{array} XSpec \ A & \stackrel{j_X}{\longrightarrow} & X \\ \ \ \downarrow{} & & \downarrow{f} \\ Spec(\mathscr O_{Y,y}) & \stackrel{j_y}{\longrightarrow} & Y \end{array} $$

mapea en el producto fibra a través de un morfismo único

$$Spec \ A \stackrel{j_{x'}}{\longrightarrow} X'$$

Refiriéndome a mi comentario anterior, este último morfismo es un punto de $X'$ . Levanta el "punto $x$ es decir $Spec \ A \stackrel{j_X}{\longrightarrow} X$ , a $X'$ .