El espacio de la función con soporte compacto NO es completo

Question

Reclamación: El espacio $C_c$ de funciones continuas de valor real con soporte compacto es pas completa

Solución:

No sé realmente cómo probar esta afirmación. Sin embargo, tuve algunas ideas: Pude demostrar que $C_c$ no está cerrado. También sabemos que todo subespacio completo de un espacio métrico es cerrado. Pero no puedo concluir. ¿Puede alguien ayudarme?

Gracias

Answer 1

No mencionas la norma de finalización pero con la norma sup puedes tomar una secuencia $f_n\in C_c$ convergiendo, por ejemplo, a $1/(1+x^2)$ uniformemente (sólo truncar de forma continua, no por función indicadora). Entonces $f_n$ es Cauchy pero no converge en $C_c$ .

Answer 2

Te falta algo en la declaración que propones utilizar. El subespacio completo debería ser concretamente un subespacio de un completa espacio métrico. Por lo tanto:

Un subespacio de un espacio métrico completo es cerrado si, y sólo si, es completo.

Supongo que considera $C_c$ como un subespacio del espacio de las funciones continuas? Si es así, entonces este espacio es completo con respecto a la norma del sumo. Puedes terminar tu demostración entonces de la siguiente manera:

Supongamos hacia una contradicción que $C_c$ está completo. Entonces, según la afirmación anterior, el espacio $C_c$ es cerrado en el espacio de las funciones continuas. Una contradicción, que implica que $C_c$ no puede ser completa.

Answer 3

@ H. H. Rugh tiene la respuesta. La función en forma de campana $f(x)=\frac{1}{1+|x|^2}$ que mencionó se desvanece asintóticamente en el infinito. Entonces elija un gran $[-n,+n], \ n \in \mathbb{N}$ y mediante un segmento de línea corto, unir continuamente los extremos de la función con el $x$ -eje, de modo que se obtiene una función continua y ahora compacta.

Pero si $n$ es cada vez más grande, entonces sus truncamientos se aproximarán infinitamente a su función original. Ellos mismos formarán una secuencia de Cauchy. Como $f$ no tiene soporte compacto, esta secuencia niega la completitud del espacio.