Buscar un grupo $G$ y $H\subseteq G$ que muestra $(H\leq G$ si $ab\in H)$ no es válido si $G$ es infinito.

Question

El teorema dice que $G$ sea un grupo finito con $H\subseteq G$ con $H\neq \varnothing$ .

$H \leq G$ si $ab \in H$ para todos $a, b \in H.$

No tengo ni idea de cómo empezar.

Answer 1

Dejemos que $G$ sea cualquier grupo en el que exista un $g \in G$ con orden $g$ infinito. Tenemos que $H = \{ g^k : k \in \mathbb{N} \}$ no es un subgrupo. En particular, ningún elemento de $H$ tienen inversos. Sin embargo, para $g^n, g^m \in H$ , usted tiene $g^{n}g^m = g^{n+m} \in H$ .

En general: Si tiene ese $X$ es cerrado pero no es un subgrupo, ¡tiene que faltar la identidad o los inversos!