Derivada de la inversa de la función exponencial a^x, con a>0 y a≠1

Question

Al estudiar las funciones exponenciales, comprendí que $$\frac{d}{dx}a^x=(\ln a)a^x.$$ También aprendí previamente que si $g(x)$ es la inversa de $f(x)$ entonces la derivada de $g(x)$ y la derivada de $f(x)$ tiene una relación recíproca. Como se dice en mi libro de texto de matemáticas,

"En general, si $y=g(x)=f^{-1}(x)$ entonces $f(y)=x$ y $f'(y)=\frac{dx}{dy}$ . Se deduce de [la ecuación de la derivada de las funciones inversas] que $$g'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(g(x))}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{dx/dy}.$$ Esta relación recíproca se escribe a veces como $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}.$$ "

Porque $log_ax$ es la inversa de $a^x$ habría tenido sentido que la derivada de $log_ax$ como $\frac{1}{(\ln a)a^x}$ . Sin embargo, sé que la derivada de $log_ax$ es $\frac{1}{(\ln a)x}$ . ¿Podría explicar por qué la derivada de $log_ax$ y la de $a^x$ no tiene relación recíproca? No es necesario explicar las pruebas derivadas de $log_ax$ y $a^x$ . Los entiendo perfectamente. Lo que no entiendo es por qué no tienen una relación recíproca.

Answer 1

Usted tiene $$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$$ Con $g(x) = \log_{a}(x)$ se obtiene

$$\log_{a}'(x) = \frac{1}{(\ln a)a^{\log_{a}(x)}} = \frac{1}{(\ln a)x}$$

Tu error fue que no miraste la función en el punto $f(x)$ pero en el punto $x$ . Ten cuidado con los infinitesimales.