Isomorfismo de grupo entre el grupo de enteros módulo m y el producto directo de grupos de enteros módulo los factores relativamente primos de m

Question

Dejemos que $\langle \Bbb Z_{n \cdot m};+,0 \rangle$ sea el grupo aditivo de los enteros módulo $m \cdot n$ y $\Bbb Z_{m} \times \Bbb Z_{n}$ el producto directo de los dos grupos aditivos de números enteros módulo $m$ y $n$ respectivamente.

Ahora sé que lo siguiente se mantiene debido a la TRC: $$ gcd(m, n) = 1 \implies \Bbb Z_{n \cdot m} \cong \Bbb Z_{m} \times \Bbb Z_{n} $$

Lo que quiero saber ahora es si también se puede demostrar (o refutar) la otra dirección: $$ gcd(m, n) = 1 \impliedby \Bbb Z_{n \cdot m} \cong \Bbb Z_{m} \times \Bbb Z_{n} $$

De modo que si se tiene el producto directo de dos grupos $\Bbb Z_{m}$ y $\Bbb Z_{n}$ sólo es isomorfo a $\Bbb Z_{n \cdot m}$ si $n$ y $m$ son relativamente primos.

Estoy buscando una prueba para la segunda implicación o un contraejemplo si la segunda implicación no se cumple.

Si esto es demostrable, ¿la forma más general

$$ \forall 1 \le i \le n , 1 \le j \le n: i \neq j \to gcd(m_{i},m_{j}) = 1 $$ $$ \iff $$ $$ \Bbb Z_{m_{1}} \times Z_{m_{2}} \times \dotsb \times Z_{m_{n}} \cong \Bbb Z_{m_{1} \cdot m_{2} \dotsb m_{n}} $$

¿también se mantiene?

Tengo la firme sospecha de que la implicación es válida en ambas direcciones, pero no he encontrado una prueba a favor o un contraejemplo en contra.

Answer 1

$\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}$ Supongamos que $\Bbb{Z}_{n\cdot m} \cong \Bbb{Z}_m\times \Bbb{Z}_n$ entonces el mayor orden de un elemento de $\Bbb{Z}_{n\cdot m}$ es $nm$ y el orden más alto de un elemento de $\Bbb{Z}_m\times \Bbb{Z}_n$ es $\lcm(n,m)$ . Por lo tanto, para que los dos grupos sean isomorfos, debemos tener $\lcm(n,m)=nm$ pero como $g\ell = nm$ donde $g=\gcd(n,m)$ y $\ell = \lcm(n,m)$ Esto significa que $g=1$ y por lo tanto debemos haber tenido que $n$ y $m$ son relativamente primos.

El caso más amplio debería ser cierto por inducción en una dirección y una generalización directa de este argumento en la otra.