Sobre la existencia de un trivial conectado subespacio de $\mathbb{R}^2$

Question

En el trivial sentido, ¿existe conectado a un subespacio de $\mathbb{R}^2$ que es una unión de un no-vacío contables de la colección de cerrado y de a pares distintos segmentos de línea de cada unidad de longitud, es decir, la longitud de la $1$? ¿Cuáles son algunos buenos ejemplos, si los hubiere?

Answer 1

Creo que los siguientes trabajos.

Deje $Q_+=\mathbb Q\cap(0,1)$$Q_-=\mathbb Q\cap(-1,0)$. Ahora, definir $$X = (Q_+\times[0,1])\cup([-1,0]\times Q_+)\cup(Q_-\times[-1,0])\cup([0,1]\times Q_-).$$

Esta es una contables distintos de la unión de cerrado de la unidad de los segmentos de las líneas de construcción. También está conectada: vamos a $f:X\to\{0,1\}$ ser un mapa continuo. A continuación, $f$ es constante en cada uno de los segmentos de línea. Deje $\{q_1\}\times[0,1]$ $\{q_2\}\times[0,1]$ ser distintos segmentos de línea. Sin pérdida de generalidad, $f(q_1,0)=1$. Debido a $f$ es continuo, no es un barrio abierto $U$ $(q_1,0)$ tal que $f(z)=1$$z\in U$. Debido a la conexión de segmentos de línea, esto significa que no es racional, $q<0$ tal que para todos los racionales $0>p>q$ tenemos $f(z)=1$$z\in[0,1]\times\{p\}$. Ahora, de nuevo a causa de la conexión, hay un barrio $V$$(q_2,0)$, de tal manera que $f$ es constante en $V$. Pero $V$ se cruza con al menos un intervalo de $[0,1]\times\{p\}$ donde $0>p>q$. Por lo tanto,$f(q_2,0)=1$. Desde $q_1$ $q_2$ fueron arbitrarias, esto significa que $f$ debe ser constante en $Q_+\times[0,1]$. Por un razonamiento similar, se debe ser constante de los otros tres miembros de la unión que define a $X$. Pero debido a que estos cuatro conjuntos no están separados, esto significa que $f$ debe ser constante en $X$ y ya que esto significa que toda función continua $f:X\to\{0,1\}$ es constante, $X$ es de hecho conectado.

Answer 2

Considere la posibilidad de la unión de $[0,1] \times 0$ $a/b \times [1/b,1/b+1]$ por cada $a/b \in \mathbb{Q} \cap (0,1)$ donde $a/b$ está escrito en forma reducida. Deje $W$ ser este espacio. Es evidente que este conjunto satisface todas las propiedades además de la conexión.

Ahora, suponga $A,B$ son dos conjuntos en $\mathbb{R}^2$ que inducen la separación de $W$ en la topología de subespacio. Es decir, $A\cap W$ $B \cap W$ son distintos, y $(A \cap W) \cup (B \cap W) = W$. Claramente el componente $[0,1] \times 0$ debe estar en su totalidad en cualquiera de las $A$ o $B$, por lo que suponer que se encuentra en $A$. Desde $A$ es abierto y $[0,1] \times 0$ es compacto, $A$ contiene un "tubo" en torno a $[0,1] \times 0$. Que significa que existe una $\epsilon > 0$ tal que para todos los $a/b$ donde$0 < 1/b < \epsilon$,$(a/b,1/b) \in A$. Pero, a continuación, $A$ debe contener el conjunto de componentes conectados $a/b \times [1/b,1/b+1]$.

Ahora, suponga $B$ es no vacío. A continuación, contiene algún componente $c/d \times [1/d,1/d+1]$. En particular, contiene el punto de $(c/d,1)$. Pero luego también contiene un punto de $(a/b,1)$ donde $a/b < \epsilon$, debido a que los racionales con denominador mayor que $1/\epsilon$ son densos en $[0,1]$. Pero luego tenemos a $a/b \times [1/b,1/b+1] \subset B$, lo cual es una contradicción, porque ya hemos observado que este segmento de línea debe ser en $A$.

Answer 3

Esto debería funcionar, y es divertido. El uso de coordenadas polares, e identificar los ángulos con los números en $[0,2\pi)$. Para cada racional $\frac ab\neq0$$[0,2\pi)$$(a,b)=1$, dibujar el segmento de $s(\frac ab)$ apunta al origen, con ángulo de $\frac ab$ y la norma que va de $\frac1b$$1+\frac1b$. Dibujar también se $s(0)$ a partir de el origen y ángulo de 0. Llamar a este conjunto de $X$.

Tomar un clopen set $A\subseteq X$ contiene $s(0)$: busca en el origen, podemos decir que el $A$ contiene todos los $s(\frac ab)$ para suficientemente grande $b$ (debido a $A$ es abierto). Pero esto muestra claramente que $A$ es densa, por lo tanto, además de ser cerrado, $A=X$.