Mostrar que el límite de la derivada es cero.

Question

Estoy tratando de mostrar que si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continuamente diferenciable de forma que $\lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{x}=0$ y $\alpha=\lim_{x\to\infty} f'(x)$ existe y es finito, entonces $\alpha=0$ . Mi idea es aplicar el teorema del valor medio pero no puedo hacerlo.

Answer 1

Sugerencia

Por MVT, hay $c_x\in (x,2x)$ s.t. $$\frac{f(2x)-f(x)}{x}=f'(c_x).$$

Answer 2

Supongamos que $\alpha>0$ . Entonces hay un $M>0$ tal que $x\geqslant M\implies f'(x)>\frac\alpha2$ . Por lo tanto, si $x>M$ , $$\frac{f(x)-f(M)}{x-M}>\frac\alpha2,$$ por el teorema del valor medio. Así que $$\frac{f(x)-f(M)}{x-M}-\frac{f(x)}x>\frac\alpha4$$ si $x$ es lo suficientemente grande. Pero esto es imposible, ya que $$\frac{f(x)-f(M)}{x-M}-\frac{f(x)}x=\frac{Mf(x)-xf(M)}{x(x-M)}=\frac M{x-M}\cdot\frac{f(x)}x-\frac{f(M)}{x-M}\to0.$$