¿Por qué no evitamos la frase "si asumimos AC" y la damos por supuesta?

Question

Esta es una pregunta ligeramente diferente. En primer lugar, debo mencionar que no soy ni matemático ni investigador. Como estudiante ordinario la separación "con y sin Axioma de elección" me molesta mucho. Pero estoy realmente interesado en saber más sobre esto.

1. Todo ideal de un anillo contenido en algún ideal maximal.

2. Todo espacio vectorial tiene una base.

3. Todo espacio lineal puede convertirse en un espacio normado.

4. El producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto con respecto a la topología del producto.

5. Existe un subconjunto de $\Bbb{R}$ que no es medible (Lebesgue Measurable) por ejemplo el famoso Conjunto Vitali .

Todo el teorema anterior se puede demostrar utilizando el axioma de elección.

La pregunta natural es, ¿qué pasa si no se nos permite utilizar la CA?

Sin AC, podemos conseguir -

1. Un ideal que no está contenido en ningún ideal maximal de algún anillo.

2. Un espacio lineal sin base.

3. Un espacio lineal en el que no se puede definir ninguna norma.

4. Producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos que no es compacto con respecto a la topología del producto.

5. Un subconjunto no medible de $\mathbb{R}$ .

Si la respuesta a las preguntas anteriores es "Sí", el estudio será más complicado. (excepto la 5), será divertido tener todos los subconjuntos de $\mathbb{R} $ son medibles]. No sé si un espacio lineal sin base será útil o no.

¿Por qué la demostración de este tipo de teorema implica "si asumimos el axioma de elección, entonces... " ?

¿Por qué no lo damos por hecho como un axioma más y nos olvidamos de la situación que se produce sin la AC?

Como sabemos, dados dos puntos distintos cualesquiera, podemos trazar una única recta que pase por ellos. Pero nadie se pregunta si el axioma de Euclides no aparece como un axioma, podemos dibujar más líneas usando dos puntos distintos.

Mi pregunta es muy clara, ¿por qué no evitamos la frase "si asumimos la AC" y la damos por supuesta?

Gracias y perdón por mi error. Es sólo mi curiosidad para saber más, gracias.

Answer 1

La pregunta "¿por qué preocuparse por el axioma de elección?" (o similar) se ha planteado muchas veces (véase aquí , aquí , aquí o aquí sólo para empezar). La moraleja de la historia es que hay muchos lugares en los que nos interesa hacer "teoría de conjuntos" en los que el axioma de elección falla (¡incluso si no eres un teórico de conjuntos! Por ejemplo, muchos geómetras algebraicos se preocupan por la teoría de conjuntos interna a un topos de la gavilla que a menudo no satisface a AC). La analogía de Lee Mosher sobre los grupos que "asumen la propiedad conmutativa" es muy buena.

En cuanto a la respuesta a tus otras preguntas: Sí, muchas propiedades algebraicas son verdaderas si y sólo si el axioma de elección es. Por ejemplo, es consistente sin AC que

1. Existe un anillo con un ideal no nulo que no está contenido en ningún ideal maximal (véase aquí para más)
2. Existen espacios vectoriales sin base (véase aquí para más)
3. Existen espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ sin norma (véase aquí para más)
4. Existe una colección de espacios compactos cuyo producto no es compacto (véase aquí por más, aunque menos que los otros)
5. No hay subconjuntos no medibles de $\mathbb{R}$ existen (ver aquí para más)

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Espero que esto ayude ^_^

Answer 2

Dado el amplio interés que despiertan los modelos de la teoría de conjuntos en los que falla la CA, parece más apropiado exponer claramente las hipótesis que se asumen para el modelo de teoría de conjuntos en el que se desea trabajar, especialmente para un teorema que es falso en ciertos modelos en los que falla AC.

En comparación, si tuvieras un teorema de la teoría de grupos que sólo fuera cierto "si asumimos la propiedad conmutativa", no te atreverías a dejar de lado esa hipótesis, dado el amplio interés por los grupos que no satisfacen la hipótesis conmutativa.

Answer 3

Algunas de las otras respuestas te dieron enlaces a las preguntas específicas que has hecho. Tanto las proposiciones específicas, como las razones históricas por las que ponemos el axioma de elección en un estatus separado que, por ejemplo, el axioma de extensionalidad o el conjunto de potencias.

Permítame añadir una respuesta particular a la pregunta de su título. ¿Por qué seguimos afirmando el uso del axioma de elección, si lo damos por sentado? Pues muy fácil. No lo damos por sentado. Sí, la gran mayoría de los matemáticos de hoy, al menos los que yo he conocido, tienden a tomar el axioma de elección como dado pero no se da por sentado.

La razón es la misma por la que la investigación sobre la necesidad del axioma de elección, y sus fragmentos, sigue siendo bastante relevante. El axioma de elección es terriblemente no constructivo. Incluso si se acepta la ley del medio excluido, que en sí misma no es muy constructiva, el axioma de la elección sigue estando en un nivel diferente. En realidad sólo te dice que las cosas existen, sin decirte cómo son esas cosas, en lo más mínimo. ¿Cómo es que una base de Hamel de $\Bbb R$ en $\Bbb Q$ ¿se ve? ¿Contiene $\pi$ ? $e$ ? $\sqrt 2$ ? La respuesta a todo esto es sí y no, en el sentido de que si uno existe, entonces existen muchos, y no hay razón para preferir uno a otro.

Por lo tanto, incluso si se toma el axioma de la elección como un hecho, sigue siendo algo que le impide especificar sus objetos explícitamente. Si quieres ser capaz de calcular tus objetos, o presentarlos de forma muy explícita, basarte en el axioma de elección significa que no puedes hacerlo. Especificar que lo estás utilizando da una pista al lector de que podría no ser posible; y estudiar fragmentos del axioma de elección nos permite entender mejor qué tipo de "oráculos" necesitamos para hacer ese cálculo específico.

Así que, sí. Seguimos mencionando el axioma porque proporciona información sobre lo explícito que podemos ser con nuestra comprensión de los objetos matemáticos. Pero tienes razón. En algunos contextos, como la topología, no podemos llegar a ninguna parte sin usar la elección, así que la usamos sin mencionarla en absoluto. Mi profesor de topología nos dijo en algún momento de la séptima semana, cuando llegamos a la compacidad, que a partir de ese momento tenemos que asumir el axioma de la elección, y los que no quieran no tienen nada más que aprender; tenía razón. (Aunque supongo que no era consciente de los fragmentos que utilizamos aprendiendo sobre los espacios métricos. Pero eso no viene al caso).

Por último, permítanme señalar que $\ell^2$ y, de hecho, cualquier espacio de Banach de dimensión infinita, no tendrá una base de Hamel cuando se trabaje en $\sf ZF+DC+BP$ , donde $\sf BP$ afirma que "todo conjunto de reales tiene la propiedad de Baire", pero siguen siendo muy espacios útiles.

Answer 4

Como ha señalado HallaSurvivor, cada una (¿la mayoría?) de estas afirmaciones son equivalentes al axioma de elección. Sin embargo, quiero señalar que sólo porque $\phi$ es demostrable a partir de $ZF + \neg AC$ (o consistente avec $ZF$ ) no implica que $\phi$ es demostrable en $ZF$ . De hecho, como la elección es independiente de $ZF$ , $\phi$ no es demostrable a partir de $ZF$ solo.

Por lo tanto, si simplemente "no se le permite usar la CA", no podrá probar ni refutar la existencia de ninguna de

1. Un ideal que no está contenido en ningún ideal maximal de algún anillo

2. Un espacio lineal sin base

3. Un espacio lineal en el que no se puede definir ninguna norma

4. Un producto no compacto de espacios topológicos compactos

5. Un subconjunto no medible de R.