Si $f:X \to X$ es un continuo bijection y cada punto tiene finita órbita, es $f^{-1}$ continua?

Question

Si $f:X \to X$ (codominio y dominio tienen la misma topología) es un continuo bijection y cada punto tiene finita órbita, es $f^{-1}$ continua?

Tenga en cuenta que la órbita de un ser finito y $f$ ser un bijection medios para que todas las $x$ significa que para todos los $x$ hay un $n>0$ tal que $f^n(x)=x$.

Yo me hice esta pregunta, mientras que la respuesta a otra pregunta sobre este sitio y al final no llegar a ninguna parte. Yo sospecho que debe de venir de muy hechos básicos o es falso en general. Me estoy inclinando hacia falsa en el momento, pero no han sido capaces de construir un contra ejemplo.

Uno de los intentos que probé fue a ver si pensando en $X_F$, la $X$ topología final con respecto a $f,f^{-1}$ tenían la misma topología, y creo que conseguí $f:X_F \to X$ era continua, sino, no podría obtener el mismo para $f^{-1}$.

Answer 1

Este parece ser un contraejemplo. Tome $X = \mathbb{N}^2 \cup \{\infty\}$ con la métrica donde $\rho((m,n), \infty) = 1/n$ y $\rho((m,n), (p, q)) = 1/n + 1/q$ al $(m,n) \ne (p,q)$. Definir $f(\infty) = \infty$ y $$ f((m,n)) = \casos{ (m, n-1) & si $2 \le n \le m$, \\ (m, m) & si $n=1$, \\ (m, n) y de otra manera. } $$ Para cada $m \in \mathbb{N}$ el conjunto $\{ (m, 1), \dots, (m, m) \}$ es un finito órbita y cualquier punto no de un conjunto es fijo. Desde $(\mathbb{N}^2, \rho)$ es discreto, sólo necesitamos considerar la continuidad en $\infty$. Es fácil comprobar que $\rho(f(m,n), \infty) \le 2\rho((m,n), \infty)$, lo $f$ es continua. Por otro lado, cada barrio de $\infty$ contiene un punto de $(m,m)$ para un cierto valor de $m$ y $\rho(f^{-1}(m,m), \infty) = 1$, por lo tanto $f^{-1}$ no es continua.

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Para un poco más natural contraejemplo, usted podría construir un vector espacio automorphism de $\mathbb{R}^\infty$ en una manera similar, por ejemplo tal que $$\begin{eqnarray} Te_1 &=& 2e_2, Te_2 = \frac{e_1}{2}, \\ Te_3 &=& 2e_4, Te_4 = 2e_5, Te_5 = \frac{e_3}{4} \\ \text{etc.}&& \end{eqnarray} $$ Claramente $T$ es un delimitada lineal operador w.r.t. la norma Euclídea, pero su inversa es no acotada. A ver que ha finito órbitas, tenga en cuenta que el las órbitas de los vectores de la base son finitos, decir $T^{k_i} e_i = e_i$, y sigue para $x = \sum_{i=1}^n c_ie_i$ que $T^K x = x$ donde $K = \prod_{i=1}^n k_i$.