Hace poco leí un artículo que utilizaba $$\pi_4(SU(2))=\mathbb{Z}_2.$$ ¿Tiene alguna visualización o explicación de este resultado?
En términos más generales, ¿cómo entienden o calculan los físicos los grupos de homotopía de alta dimensión?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
KevinUK
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1886
Es muy difícil visualizar estas clases de homotopía, ya que corresponden a mapas $S^4\rightarrow SU(2)\approx S^3$ . Los grupos de homotopía de las esferas (y de cualquier otro espacio) suelen ser muy difíciles de calcular en general y los físicos suelen preguntar a los matemáticos. Pero existen resultados sencillos en el llamado "rango estable", donde existe una estructura regular ( Periodicidad de Bott , $\pi_k(U(N)) = \pi_{k+2}(U(N))$ para un tamaño suficiente $N$ ), y existen herramientas para calcular grupos de homotopía de ciertos espacios, como el secuencia exacta larga de una fibración .
Para el caso de las esferas, véase la tabla en wikipedia donde el comportamiento caótico es claro y $\pi_4(S^3)$ está en la lista. Hay una revisión muy buena de Mermin (1) donde se puede aprender a visualizar y calcular grupos homotópicos simples.
seb
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157
Desde $SU(2)$ es topológicamente una trisfera $S^3$ se puede empezar investigando los grupos de homotopía de las esferas. Desgraciadamente, aunque existen algunos resultados regulares, como $\Pi_n(S^n)=\mathbb{Z}$ y $\Pi_m(S^n)=0$ para $m<n$ No creo que haya un solo para calcular $\Pi_m(S^n)$ para $m>n$ . Resultados individuales para $m>n$ son caótico . Así pues, creo que la respuesta a tu última pregunta es "¡se lo preguntarían a un matemático!", porque éste (la topología algebraica) es un tema muy amplio.
Para su caso concreto, existe una referencia dado en math overflow, pero desgraciadamente no tengo el libro.
rhon
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36
Esta pregunta también se ha publicado en https://mathoverflow.net/questions/115866/homotopy-pi-4su2z-2 con respuestas de tipo geométrico y algebraico (¡esa era la mía!). Las respuestas geométricas hablan del método de Pontjyagin para construir representaciones explícitas de mapas a esferas. Los métodos algebraicos hablan de la respuesta a partir de un teorema general que da algunos resultados sobre grupos de homotopía de complejos y, cuando se cumplen las condiciones bajo las que funciona, da respuestas algebraicas detalladas y calculables.
