Carácter de $Sym^2(V)$ y la descomposición en representaciones irreducibles

Question

Dejemos que $G=S_3$ sea el grupo simétrico sobre tres elementos, cuya tabla de caracteres está dada como sigue:

Dejemos que $V$ sea la única representación irreducible de dimensión $2$

Pregunta 1 : Calcula el carácter de la representación cuadrada simétrica $Sym^2(V)$

El carácter de una representación es la huella de una representación. ¿Cómo se puede encontrar la huella de $Sym^2V$ ?

Pregunta 2 : Descomponer $Sym^2(V)$ en representaciones irreducibles

¿Cómo puedo resolver este problema utilizando ¿personajes?

Sé que los elementos de base son:

$e_1^2=e_1 \otimes e_1$ , $e_2^2=e_2 \otimes e_2$ y $e_1e_2=e_1 \otimes e_2 + e_2 \otimes e_1$

$\pi \otimes \pi$ actúa trivialmente sobre $e_1e_2$ y $e_1^2$ , $e_2^2$ dan lugar a $V$

Así que creo que lo hemos hecho: $Sym^2V \cong 1 \otimes V$

Lo que me gustaría saber es: ¿cómo he podido obtener este resultado mirando los caracteres

Gracias de antemano por su ayuda

Answer 1

1. El carácter de $S^2(V)$ puede evaluarse mediante la fórmula $$ \chi_{S^2(V)}(g)= \frac{\chi_V(g^2)+\chi_V(g)^2}{2} $$ ver por ejemplo esta respuesta para una prueba. Entonces tenemos $$ \begin{matrix} & 1 & (12) & (123)\\ \hline \chi_{S^2(V)} & 3 & 1 & 0 \end{matrix}$$

2. Si una representación es la suma directa de subrepresentaciones, el carácter correspondiente es la suma de los caracteres de esas subrepresentaciones (wiki) .

Debería ser fácil convencerse de que la única manera de obtener $\chi_{S^2(V)}$ como una combinación lineal entera no negativa de $\{\chi_i\}$ es $\chi_{S^2(V)}=\chi_1+\chi_3$ lo que demuestra que

$$ S^2(V)\cong 1 \oplus V $$

En general, la descomposición se puede encontrar utilizando el hecho de que el conjunto de caracteres irreducibles es una base del espacio vectorial de las funciones de clase de conjugación. La base es ortonormal con respecto al producto escalar

$$ (\chi_i,\chi_j) = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \chi_i(g)\chi_j(g) $$ .

En nuestro caso $(\chi_{S^2(V)},\chi_1)=1$ , $(\chi_{S^2(V)},\chi_2)=0$ , $(\chi_{S^2(V)},\chi_3)=1$ , dando de nuevo la descomposición de $S^2(V)$ .