Un análogo de la función de Rayo para los ordinales

Question

He pasado un poco de tiempo, sólo por diversión, preguntándome cómo construir ordinales contables cada vez más grandes, y finalmente he intentado tomar una pista de la función de Rayo considerando lo siguiente $\rho: \omega \rightarrow \text{On}$ :

" $\rho(n)$ es la suma de todos los ordinales que surgen como límites de las notaciones ordinales que pueden definirse con un máximo de $n$ símbolos".

En realidad, no estoy seguro de cómo formalizar esto, pero estoy bastante seguro de que se puede hacer de una manera razonable (sólo para dar una idea: $\rho(n)$ deberá ser mayor que $\Gamma_0$ si $n$ es lo suficientemente grande como para definir la suma entre ordinales, la función $\varphi_0(x)=\omega^x$ y el paso inductivo que construye cada función Veblen $\varphi_{\alpha}$ en términos de los anteriores).

Así que, asumiendo que este $\rho$ está bien definida, ¿podemos decir que es incalculable en algún sentido (como la función de Rayo ordinaria)? Y también, ¿es cierto que $\sup\limits_{n \in \omega} \rho(n)=\omega_1^{\text{CK}}$ ?

Answer 1

Por supuesto, va a depender mucho de cómo decidas formalizarlo. Sin embargo, permítanme examinar dos enfoques razonables a considerar.

• (Rayo ordinal pequeño) Existe una noción formal de "notación para un ordinal computable", a saber, Kleene's $\mathcal{O}$ . Por lo tanto, se puede mirar la función $r(n)=$ "El menos $\alpha$ tal que existe alguna notación $a\in\mathcal{O}$ avec $\vert a\vert_\mathcal{O}=\alpha$ y $a$ puede definirse en $<n$ símbolos". En este caso tenemos inmediatamente $\sup_{n\in\omega}r(n)=\omega_1^{CK}$ .

• (Gran ordinal Rayo) También podríamos simplemente levantar la definición de la función de Rayo al pie de la letra: " $R(n)$ es el menor ordinal no definible por una frase con menos de $n$ símbolos". En general $R$ es mucho más grande que $r$ . Después de todo, $\omega_1^{CK}$ es a su vez definible por lo que tenemos $\omega_1^{CK}<R(k)$ para un número grande pero finito de $k$ .

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Por supuesto, cada uno de los planteamientos anteriores choca con la cuestión habitual: ¿qué queremos decir exactamente con "definido por"?

El enfoque pequeño es sorprendentemente agradable ya que estamos limitando todo por $\omega_1^{CK}$ a priori; tout Una noción razonable de definibilidad conducirá al mismo supremum, incluso si los valores específicos de la función cambian. Sin embargo, la gran aproximación va tan mal como cabría esperar. Después de todo, ingenuamente hablando, el ordinal $\sup_{n\in\omega}R(n)$ es definible, ¿no?

Por supuesto, esto también era un problema con la función original de Rayo. La solución fue, por supuesto, reconocer que la función de Rayo está definida en un lenguaje más rico que las definiciones que considera, y ese arreglo tiene que ser empleado aquí también. Pero, de hecho, el gran enfoque pone este matiz en evidencia, ya que hay modelos de $\mathsf{ZFC}$ en el que cada ¡ordinal es definible! Estos se llaman Modelos de París . También hay modelos en los que todo es definible - se llaman modelos definibles puntualmente .