interior, cierre y límite de una gráfica de una función continua

Question

Supongamos que $A = \{ (x,f(x)) : x \in \mathbb{R} \} $ . $f$ es una función continua. Quiero encontrar el límite, el cierre y el interior de $A$ . Sabemos que $A$ está cerrado ya que $f$ es continua, entonces debemos tener que $\overline{A} = A $ . Sin embargo, me está costando encontrar $\operatorname{Int} A$ y $\partial A $ . ¿Puede alguien ayudarme? gracias

Answer 1

Sugerencia : Un resultado que puede querer probar (si no lo sabe ya) es que si $A^\circ$ denota el interior de $A,$ entonces $\partial A=\overline A\setminus A^\circ.$ Esto hará que encontrar el límite sea sencillo, una vez que hayas encontrado el interior.

Ahora, consideremos los conjuntos $$A_\epsilon:=\bigl\{(x,y)\in\Bbb R^2:f(x)-\epsilon<y<f(x)+\epsilon\bigr\}$$ para $\epsilon>0.$ Debe poder demostrar que $A\subseteq A_\epsilon$ para todos $\epsilon>0,$ y que $A=\bigcap_{\epsilon>0}A_\epsilon.$ Ahora, utiliza esto para demostrar que $A$ no puede contener ninguna bola abierta, por lo que $A^\circ=$ . . ¿qué?

Añadido : Tome cualquier $(x,y)\in A$ --que significa $y=f(x)$ --y tomar cualquier $r>0.$ Tenga en cuenta que $(x,f(x)+\frac r2)$ se encuentra en la bola abierta sobre $(x,y)$ de radio $r,$ pero no se acuesta en $A_{\frac r2}.$ Por lo tanto, ya que $A\subseteq A_{\frac r2},$ entonces $(x,f(x)+\frac r2)$ no se encuentra en $A.$ Por lo tanto, la bola abierta sobre $(x,y)$ de radio $r$ no está contenido por $A.$ Así, $A$ no contiene tout balón abierto (¿por qué?), y así $A^\circ=\emptyset.$

Answer 2

Dejemos que $f: ℝ → ℝ$ sea una función cualquiera. Observa que no tiene que ser continua. Elige un punto cualquiera $p = (x, f(x)) \in \mathrm{Graph}(f) =: M$ y que $U ⊂ ℝ×ℝ$ sea un conjunto abierto alrededor de $p$ .

Entonces hay un número real $ε > 0$ tal que para el conjunto $R_ε = (x-ε, x+ε) × (f(x)-ε, f(x)+ε)$ tenemos $p \in R_ε ⊂ U$ porque $\{(x - ε, x+ε) | ε > 0\}$ es una base de vecindad alrededor de $x$ y $\{(f(x)-ε, f(x)+ε | ε>0\}$ es una base de vecindad alrededor de $f(x)$ en la topología de $ℝ$ , haciendo que $\{R_ε | ε>0\}$ una base vecinal en torno a $p$ en la topología de producto (habitual) de $ℝ×ℝ$ .

Supongamos que $U ⊂ M$ . Esto implica que $R_ε ⊂ M$ y así los dos puntos $p = (x, f(x))$ y $q = (x, f(x) + \frac{ε}{2})$ de $R_ε$ debe estar en $M$ .

Este no puede ser el caso, porque $f$ es una función y por lo tanto hay exactamente un punto en $M = \mathrm{Graph}(f)$ de la forma $(x,y)$ - el que tiene $y=f(x)$ .

Eso significa que nuestra suposición debe ser errónea y lo contrario debe ser cierto: $U \not\subset M$ .

Como $U$ era un conjunto abierto arbitrario alrededor de $p$ . Lo anterior es válido para todos los conjuntos abiertos $U \ni p$ . Así que $p \notin \mathrm{Int}(M)$ .

Asimismo, $p$ era un punto arbitrario de $M$ y así $\mathrm{Int}(\mathrm{Graph}(f)) = M ∩ \mathrm{Int}(M) = ∅$ .

---

Así, desde una perspectiva topológica general, mientras los conjuntos abiertos del espacio objetivo contengan todos más de un punto, cualquier gráfico de cualquier función en ese espacio tendrá el interior vacío.

Answer 3

Intenta probar $A$ no tiene interior.