Cómo puedo resolver $(1+x^2)y''(x)+2xy(x)=4x^2$

Question

Se han encontrado con una ecuación diferencial $$ (1+x^2)\frac{{d^2}y}{d{x^2}}+2xy=4x^2$$

Mi enfoque La solución completa de la ecuación diferencial lineal ordinaria es :

y= función complementaria + integral particular

He probado el método de coeficientes indeterminados pero no obtuve ninguna solución.

Cómo puedo iniciar el procedimiento de resolución. Cualquier pista sutil es apreciada

Answer 1

Una pista:

$(1+x^2)\dfrac{d^2y}{dx^2}+2xy=4x^2$

$(x^2+1)\dfrac{d^2y}{dx^2}+2x(y-2x)=0$

Dejemos que $u=y-2x$ ,

Entonces $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx}-2$

$\dfrac{d^2u}{dx^2}=\dfrac{d^2y}{dx^2}$

$\therefore(x^2+1)\dfrac{d^2u}{dx^2}+2xu=0$

Que se relaciona con Ecuación confluente de Heun .