¿Cómo se pueden aplicar estas dos soluciones de $\frac{dn}{dt}=rn(t)+m$ ¿se corresponden/relacionan entre sí?

Question

He intentado resolver la siguiente EDO lineal de primer orden: $$ \frac{dn}{dt} = rn(t)+m $$

Esto es lo que he conseguido: \begin{align} \int \frac{1}{rn(t)+m}dn & = \int 1dt \\ \frac{\ln(rn(t)+m)}{r} & = t+C \\ rn(t)+m & = e^{r(t+C)}\\ rn(t)+m & = e^{rt}e^{rC} \end{align}

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$$ rn(0)+m = e^{rC} $$

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\begin{align} rn(t)+m & = e^{rt}(rn(0)+m) \\ n(t) & = \frac{e^{rt}rn(0)+e^{rt}m-m}{r} \\ n(t) & = \frac{e^{rt}rn(0)+(e^{rt}-1)m}{r} \\ n(t) & = e^{rt}n(0)-\frac{m}{r}(1-e^{rt}) \end{align}

Esta solución debería ser correcta según el libro de donde saqué la EDO. (Otto, S.P.; Day, T., 2007. A Biologist's Guide to Mathematical Modeling in Ecology and Evolution. Princeton University Press. (p. 200.: Receta 6.3)) Mi propósito era elaborar la solución mediante una separación de variables por mí mismo.
Pero cuando doy $\frac{dn}{dt}=rn(t)+m$ a WolframAlpha, su solución es la siguiente: $$ n(t) = c_1e^{rt}-\frac{m}{r} $$

¿De dónde viene esto? ¿Y cómo se corresponden/relacionan estas dos soluciones? Lo he intentado pero no he podido resolverlo.

Answer 1

Son los mismos, encontraremos $c_{1}.$

Dejemos que $t=0$ en la solución de WolframAlpha, entonces $$n(0)=c_{1}-\frac{m}{r}$$

$$c_{1}=n(0)+\frac{m}{r}$$ y así tenemos $$n(t)=c_{1}e^{rt}-\frac{m}{r}$$ $$=e^{rt}(n(0)+\frac{m}{r})-\frac{m}{r}$$ $$=e^{rt}n(0)-\frac{m}{r}(1-e^{rt}).$$

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Usted demostró que $rn(t)+m=e^{rt}e^{rC}$ o $n(t)=\frac{e^{rC}}{r}e^{rt}-\frac{m}{r}.$ Entonces, como $\frac{e^{rC}}{r}$ es una constante más, podemos dejar que $\frac{e^{rC}}{r}=c_{1}$ para obtener la solución de WolframAlpha $n(t)=c_{1}e^{rt}-\frac{m}{r}.$ La constante está fijada por la condición de contorno en $t=0$ .