Si $f(f(f(x)))+f(x)=2$ para todos $0≤x≤2$ entonces encuentra $\int_0^2 f(x) dx$

Question

Si $f(f(f(x)))+f(x)=2$ para todos $0x2$ , donde $f(x)$ es una función continua, entonces encuentre $\int_0^2 f(x) dx$

Sustituir $f(x)=2-t$ para conseguir $$\begin{equation} f(f(2-t))=t \end{equation}$$ Tome la inversa en ambos lados y luego integre desde $0$ a $2$ $$\int_0^2f(2-t)=\int_0^2f^{-1}(t)$$ Por otro lado, sustituyendo $f(f(x))=z$ en la ecuación original da $$f(z)=2-f^{-1}(z)$$ Poner el valor de $f^{-1}(z)$ podemos resolver para $\int_0^2 f(x) dx=2$

Mi solución me dio la respuesta correcta, pero es claramente errónea porque 1) el rango de $f(x)$ o $f(f(x))$ no tiene por qué ser un subconjunto del dominio y 2) la inversa de $f(x)$ puede no existir. Además, los datos dados $0x2$ parece ser superfluo aquí. Entonces, ¿cuál es la forma correcta de hacerlo?

Answer 1

$f$ no es invertible. Considere $$f(f(f(x)))=2-f(x)$$ y supongamos $f$ está aumentando en $[0,2]$ . Entonces \begin{align*} f(f(f(0)))<f(f(f(2))),\quad 2-f(0)>2-f(2) \end{align*} Por el contrario, supongamos que $f$ es decreciente en $[0,2]$ . Entonces \begin{align*} f(f(f(0)))>f(f(f(2))),\quad 2-f(0)<2-f(2) \end{align*} Lleva a la contradicción, por lo que $f$ no puede aumentar o disminuir en $[0,2]$ . Hay una solución trivial $f(x)=1$ a la ecuación funcional que tiene $$\int_0^2 f(x)dx=2$$ Y no estoy seguro de que exista otra función que satisfaga la ecuación.

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Editar:

Podemos demostrar $f(x)=1$ . Supongamos que $f$ es una función definida en un intervalo cerrado $[0,2]$ . Si $y$ está en el rango de $f$ entonces $2-y$ también está en el rango de $f$ por $$f\circ f\circ f(x)=2-f(x).$$ Dado que la función continua mapea intervalo cerrado a intervalo cerrado $$f([0,2])=[1-p,1+p]$$ para $0\leq p$ . Entonces supongamos que $0<p$ y considerar $f:[1-p,1+p]\to[1-p,1+p]$ . Entonces lo siguiente es válido. $$f\circ f(x)=2-x$$ Tenga en cuenta que $f$ es invertible ya que $$f\circ f\circ f\circ f(x)=x\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(x)=f\circ f\circ f(x)$$ Ya hemos comprobado que $f$ no es invertible, por lo que $p=0$ Es decir $f$ es constante.