Sistemas inversos de láminas y Hom

Question

Dejemos que $X$ sea un esquema noetheriano y $(F_n)_{\in \mathbb N}$ un sistema inverso (indexado por los números naturales) de gavillas locales de rango finito sobre $X$ (los rangos pueden variar). Los mapas de transición $F_{n+1} \rightarrow F_n$ será suryente para todo $n$ .

Entonces, ¿existe un isomorfismo canónico

$\mathcal Hom_{\mathcal O_X} (\varprojlim F_n, \mathcal O_X) \simeq \varinjlim \mathcal Hom_{\mathcal O_X}(F_n,\mathcal O_X)$ ?

Aquí siempre se habla de Sheaf-Homs, y los límites se consideran al principio en la categoría de módulos cuasi-coherentes (donde existen en cualquier caso).

Answer 1

Dejemos que $A$ sea un anillo noetheriano conmutativo. Sea $I\subseteq A$ sea un ideal. Supongamos que $A$ es $I$ - y que se ha completado.

Dejemos que $A_n = A/I^n$ . Claramente, $A_n$ es un sistema inverso, y $A = \varprojlim A_n$ .

Por lo tanto,

$\operatorname{Hom}_A(\varprojlim A_n ,A) = A $ .

Sin embargo,

$\varinjlim \operatorname{Hom}_A(A_n,A) = \Gamma_I A = \{a\in A : \exists n, I^n a = 0\}$ .

En particular, si $A$ no es $I$ -torsión, estos dos son diferentes. Para un ejemplo concreto, tomemos $A = k[[x]]$ y $I=(x)$ .

Edición: esto es falso, ignoré su suposición sobre el $F_n$ siendo proyectiva.