Momento angular máximo para una órbita en RG

Question

[La referencia para esta pregunta es el libro Gravitación por Misner, Thorne y Wheeler].

Las trayectorias de las partículas masivas alrededor de un cuerpo con simetría esférica se rigen por el potencial efectivo $$ \tilde{V}(\tilde{L}, r) = \left( 1 - \frac{2M}{r}\right) \left( 1 + \frac{\tilde{L}^2}{r^2}\right) $$ donde la invariante orbital $\tilde{L}$ es el momento angular por unidad de masa en reposo $\frac{L}{\mu}$ .

La pregunta es: ¿hay algún límite máximo para $\tilde{L}$ ¿para las órbitas ligadas?

Estoy pensando en lo siguiente: En la física newtoniana, el momento angular no tiene restricciones. Sin embargo, sabemos por la relatividad especial que hay un límite superior a la velocidad de cualquier partícula. Como el momento angular está relacionado con $\dfrac{d\phi}{dt}$ , utilizando ingenuamente

$$r \frac{d\phi}{dt} \leq c$$

me da,

$$ \tilde{L} \leq \tilde{E} \frac{r^2}{r- 2M} $$

¿Cómo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Esto resulta tener una respuesta realmente aburrida. Podemos encontrar las dos órbitas circulares encontrando los máximos y mínimos del potencial efectivo, y obtenemos:

$$ r = \frac{L^2}{2M}\left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{12M^2}{L^2}}\right) \tag{1} $$

donde el $+$ da la órbita estable exterior y la $-$ da la órbita inestable interior. Nótese que ambas órbitas existen sólo para $L^2 \ge 12M$ lo que da el resultado esperado para la órbita más estable $r = 6M$ .

En cualquier caso, si tomamos el límite de grandes $L$ encontramos:

$$ r \propto L^2 $$

Así que podemos hacer $L$ tan grande como queramos haciendo el radio orbital tan grande como queramos.

Esto se entiende fácilmente observando la órbita clásica. La velocidad orbital cae con el radio orbital como $v = \sqrt{GM/r}$ así que $\omega=\sqrt{GM/r^3}$ pero el momento de inercia aumenta cuando $I=mr^2$ . Si lo juntamos todo, obtendremos $L=I\omega=m\sqrt{GMr}$ .