¿En qué se diferencia una función parcial de una transformación parcial cuando ambas pueden expresar siempre la función total asociada a la otra?

Question

Utilizando la definición dada por la wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_function una función parcial $f:X\nrightarrow Y$ es sólo una función $f:X'\to Y$ para algún subconjunto $X'\subseteq X$ análoga a la forma en que para una función definida categóricamente su imagen es algún subconjunto de su conjunto de codominio/objetivo. Sin embargo, dicen que una "transformación parcial" es una función parcial de un conjunto a sí mismo. Sin embargo, según esta descripción, yo podría definir una función parcial $f:X\cup Y\nrightarrow X\cup Y$ análoga a la anterior, añadiendo valores adicionales a los que no está definida o a los que no asigna, hasta que consiga una que asigne el mismo conjunto a sí mismo y que corresponda a una función idéntica $f:X'\to Y$ como lo hizo anteriormente.

Entonces, ¿me estoy perdiendo algo aquí? En resumen, parece que una función parcial es sólo una relación funcional equipada con dos conjuntos definidos externamente que sólo tienen que contener el dominio/imagen. Aunque como siempre podemos construir conjuntos externos iguales entre sí que satisfagan esto cuyas funciones asociadas sean las mismas, me parece que la distinción entre una función parcial y una transformación parcial es totalmente arbitraria. ¿Puede alguien aclararme esto? ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

No creo que te hayas equivocado en ningún punto, pero al mismo tiempo, no creo que sea justo decir que un concepto es completamente arbitrario sólo porque pueda ser interpretado como una instancia de otro concepto.

Olvidando por un momento la parte "parcial", consideremos la diferencia entre una función y una transformación (en el sentido de una función de un conjunto a sí mismo). Una transformación es un tipo de función, y toda función $f : X \to Y$ induce una transformación $f' : X \cup Y \to X \cup Y$ dado por dejar que $f'(t)=f(t)$ si $t \in X$ y $f'(t) = t$ si $t \in Y \setminus X$ . Sin embargo, aunque una función puede considerarse una transformación, y viceversa, cada noción es útil por razones diferentes.

Como otro ejemplo, una función $f : X \to Y$ puede considerarse como una relación $R$ en $X \sqcup Y$ , donde $t\,R\,t'$ si y sólo si $t \in X$ , $t' \in Y$ y $t\,R\,t'$ . A la inversa, una relación $R$ en un conjunto $X$ puede considerarse como una función $f : X \times X \to \{ 0, 1 \}$ dejando $f(x,x')=1$ si $x\,R\,x'$ y $f(x,x')=0$ de lo contrario. Esto no hace que las nociones de función o relación sean redundantes, sólo nos permite traducir de un contexto a otro.

Lo mismo ocurre en el caso "parcial". A veces puede ser conveniente o importante ver una función parcial $f : A \rightharpoondown B$ como una transformación parcial $X \nrightarrow X$ para algún conjunto $X$ que contiene tanto $A$ y $B$ como subconjuntos, por ejemplo.