Parece que he llegado a resultados contradictorios al calcular este grupo, ¿te importaría ayudarme a resolverlo?
Por Sage + internet encuentro que debería ser cierto que este grupo de clase es trivial.
Sabemos que el límite de Minkowski para este grupo es:
$$ M_k = \frac{1}{2}\frac{\pi}{4}\sqrt{7*4} \approx 2.08. $$
Por lo tanto, la única prima que debemos comprobar es $2 \mathcal{O}_k$ . Observe que $x^2 + 7 \equiv_2 x^2 + 1 \equiv_2 (x+1)^2$ lo que implica que está totalmente ramificado. Entonces tenemos que considerar $\mathfrak{p}_2 = (2, \sqrt{-7}+1)$ . Sabemos que $\mathfrak{p}_2^2 = (2)$ lo que implica que sabemos que el orden del grupo de clases ideal es menor o igual a 2. Entonces consideramos $(2, \sqrt{-7}+1)$ y quiero demostrar que esto es un principio (de lo contrario, sage/internet está equivocado).
Supongamos que tenemos algún elemento $z$ tal que $(z) = (2, 1 + \sqrt{-7})$ . Entonces debe ser cierto que $N(z) \mid N(2)$ y $N(z) \mid N(1+\sqrt{-7}) \implies N(z) \mid 4, 8 \implies N(z)$ es uno de $1, 2, 4$ . Sin embargo, como $N(a+b\sqrt{-7}) = a^2 + 7b^2$ vemos que es imposible que tome los valores $2$ y $4$ Por lo tanto, si tal $z$ existe debe ser $1$ .
Sin embargo, por esta respuesta en el intercambio de pilas, tal $z$ ¡no es posible!
Por lo tanto, debo concluir que el grupo de clase es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ pero es evidente que esto no es cierto.
¿Podría señalar mi error?
