Dejemos que $(G,\cdot)$ sea un conjunto con una operación asociativa. Demuestre que los dos siguientes axiomas son equivalentes

Question

Dejemos que $(G,\cdot)$ sea un conjunto con una operación asociativa. Demuestre que los dos siguientes axiomas son equivalentes:

(a) : existe un elemento neutro a la izquierda $e'$ para que $\forall a \in G: e'a=a$

(b): Existe un elemento neutro $e$ para que $\forall a\in G:ea=ae=a$

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Mi intento:

$(a)\Longrightarrow (b) :$

Dejemos que $e'$ sea la inversa de la mano izquierda en $(G,\cdot)$ .

Ahora tomemos $a,b \in G$ :

$$ab=a(e'b)=(ae')b=ab.$$

Así que para que la asociatividad en $(G,\cdot)$ para sostener, $e'$ tiene que ser neutro a la derecha también.

$(b) \Longrightarrow (a):$

¿Es obvio?

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¿Es esto correcto? Quiero decir, es bastante obvio, por eso sospecho que estoy sacando conclusiones

Answer 1

Las dos afirmaciones no son equivalentes. Aunque (b) implica (a), no es el caso que (a) implique (b).

Para comprobarlo, dejemos que $G=\{e,a\}$ y definir la operación como sigue: $ea=a$ , $aa=a$ , $ae=e$ , $ee=e$ . Es decir, el resultado de multiplicar $x$ por $y$ es siempre $y$ .

Esto se ve fácilmente que es asociativo, ya que $x(yz) = yz = z$ y $(xy)z=z$ .

También está claro que ambos $e$ y $a$ son inversos a la izquierda, ya que $ee=e$ , $ea=a$ (y también $ae=e$ y $aa=a$ ). Sin embargo, ni $e$ ni $a$ son inversos de dos lados.

El fallo de tu intento, como se ha señalado, es que la asociatividad no implica la cancelabilidad. No se puede pasar de $xy=xz$ a $y=z$ o de $xy=zy$ a $x=z$ de sólo saber que la operación es asociativa. Pero eso es lo que se intenta hacer al afirmar que $(ae’)b = ab$ requiere $ae’=a$ .

Answer 2

Como muestra la respuesta de Arturo Magidin $A\not \implies B$ .

Tal vez se supone que A) es que hay un inverso izquierdo y una identidad derecha (potencialmente diferente[1]):

Es decir

A) Existe $e', e’’$ para que $e'a = a$ para todos $a$ y $be’’ = b$ para todos $b$ .

Si eso es cierto

Reclamación: $e'= e"$ .

Pf: $e'e’’ = e'$ por definición de $e'$ . Y $e'e’’= e’’$ por definición $e' =e'e’’ = e’’$ .

Así, $e'a = a = ae’’ = ae'$ para todos $a$ así que $B$ está implícito.

$A\implies B$ .

Y como usted dice $B \implies A$ es evidente (basta con dejar que $e' = e$ y $e’’ = e$ .)

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[1] hipotéticamente diferente, pero como demostramos, no es realmente posible que sea diferente.