¿Tiene sentido hablar de $L^2$ producto interno de dos funciones no necesariamente en $L^2$ ?

Question

El $L^2$ -producto interno de dos funciones reales $f$ y $g$ en un espacio de medidas $X$ con respecto a la medida $\mu$ viene dada por $$ \langle f,g\rangle_{L^2} := \int_X fg d\mu, $$

Cuando $f$ y $g$ son ambos en $L^2(X)$ , $|\langle f,g\rangle_{L^2}|\leqslant \|f\|_{L^2} \|g\|_{L^2} < \infty$ .

Me preguntaba si tiene sentido hablar de $\langle f,g\rangle_{L^2}$ cuando $f$ y/o $g$ puede no estar en $L^2(X)$ ? ¿Cuáles son los casos más generales que $f$ y $g$ tanto en $L^2(X)$ cuando se habla de $L^2(X)$ ¿tiene sentido?

Gracias y saludos.

Answer 1

Cuando se toma $f\notin L^{2}(X)$ el problema es que no se puede asegurar $fg$ es integrable, pero si $f\in L^{p}(X)$ entonces puede elegir $g\in L^{q}(X)$ con $\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1$ Entonces puede asegurarse de que $fg$ es integrable.

Answer 2

Sí, tiene sentido. Por ejemplo, si se toma $f\in L^p(X)$ y $g\in L^{p'}(X)$ con $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$ entonces $\langle f,g\rangle_{L^2} $ está bien definida y $$\langle f,g\rangle_{L^2} <\|f\|_p\|g\|_{p'}$$

Con esta notación se dice que el producto interior sobre $L^2$ induce la dualidad $p$ y $p'$ .