En cada ronda, se sortea un número $1-100$ de un sombrero (y sustituye el número después del sorteo). Puedes jugar tantas rondas como quieras, y el último número que saques será el número de dólares que ganes, pero cada ronda cuesta $1/x$ (donde $x$ es la cantidad extraída, por ejemplo $2$ pagar $50$ cents). ¿Cuál es el valor justo a cobrar por entrar en este juego?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vincent
Puntos
5027
En cada ronda, empiezas el juego de nuevo (habiendo perdido alguna cantidad). Por tanto, cualquier estrategia sensata debe ser independiente de las jugadas anteriores. En este caso, será de la forma "Si saco como máximo $k$ Entonces, continúe; de lo contrario, deténgase". Ahora arregle $k$ y supongamos que la expectativa del juego es $E$ . Supongo, al contrario que Hagen von Eitzen, que también hay que pagar por el último sorteo. Entonces tenemos:
$$E = \frac1{100}\sum_{i \le k}\left(E - \frac1{i}\right) + \frac1{100}\sum_{i > k}\left(i - \frac1{i}\right)$$
Reacomodando,
$$E=\frac{101}2 + \frac12k - \frac1{100-k}\sigma$$
donde $\sigma = \sum_1^{100}\frac1i = 5.1873775\ldots$
Queremos encontrar el $k$ que maximice esta expectativa. La solución de la realidad $k$ da $k = 100 - \sqrt{2\sigma} = 96.779\ldots$ Por lo tanto, la solución entera óptima es $k = 96$ o $97$ . Comprobando, encontramos que $k=97$ es óptimo, con
$$E = 99 - \frac{\sigma}3 = 97.27087\ldots$$
Así que debes seguir dibujando hasta que veas 98 o más. Y un precio justo para este juego es \$97.28 (porque no se puede esperar que la casa corra con pérdidas).
