¿Cómo puedo resolver la siguiente ecuación matricial?

Question

¿Cómo puedo resolver

$$X^2=\begin{pmatrix} -1 &25 \\ -1& 21 \end{pmatrix}$$

donde $X$ es una matriz compleja? Me encontré con un montón de estos ejercicios, así que por favor ofrecer un método detallado. Gracias.

Answer 1

Si se diagonaliza la matriz, se obtiene una forma $S\Lambda S^{-1}$ , donde $\Lambda$ es una matriz diagonal que contiene los valores propios de $X^2 =\begin{pmatrix} -1 & 25 \\-1 & 21\end{pmatrix}$ y $S$ la matriz cuyas columnas están formadas por sus vectores propios. Esta descomposición obedecerá a $X^2=S\Lambda S^{-1}.$

Ahora tenemos $\Lambda^{1/2}$ y ver qué pasa si aumentamos $S\Lambda^{1/2} S^{-1}$ a la segunda potencia:

$$(S\Lambda^{1/2} S^{-1})\,\,(S\Lambda^{1/2} S^{-1})=S\Lambda^{1/2} (S^{-1}\,S)\Lambda^{1/2} S^{-1}= S\Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2}S^{-1}=S\Lambda S^{-1}=X^2$$

Por lo tanto, $X = S\Lambda^{1/2} S^{-1}.$

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Para terminar,

\begin{align}\small X = S \Lambda^{1/2} S^{-1}&= \small{\begin{bmatrix}-0.7687560&-0.99884608\\-0.6395422&-0.04802616\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4.44949&0\\0&0.4494897\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.07979307&-1.6595338\\-1.06256752&1.277250\end{bmatrix}} \\&= \begin{bmatrix}0.2041241&5.103104\\-0.2041241&4.694855\end{bmatrix}\end{align}

Answer 2

Sin diagonalizar, una forma sería simplemente dejar que $a, b, c, d \in \Bbb C$ y $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ .

Entonces $X^2 = \begin{pmatrix} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & d^2 + bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 25 \\ -1 & 21 \end{pmatrix}$ .

Considerando cada ecuación a su vez, encontramos:

$a^2+bc = -1 \implies b = -\frac{1+a^2}{c}$

$b(a+d) = 25 = -\frac{(a+d)(1+a^2)}{c} \implies c = -\frac{(a+d)(1+a^2)}{25}$

$c(a+d) = -1 = -\frac{(a+d)^2(1+a^2)}{25} \implies (a+d)^2 = \frac{25}{1+a^2} \implies d = -a \pm \frac{5}{\sqrt{1+a^2}}$

$d^2+bc = 21 = a^2 \mp \frac{10a}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{25}{1+a^2} \pm 5\sqrt{1+a^2} \cdot -\frac{1}{5} \sqrt{1+a^2}$ $ = a^2 \mp \frac{10a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{25}{1+a^2} \mp (1+a^2)$

Si elegimos el signo más, esto se convierte en: $$22 = \frac{25}{1+a^2}-\frac{10a}{\sqrt{1+a^2}}$$ Multiplicar por $1+a^2$ para dar $$22 + 22a^2 = 25 - 10a \sqrt{1+a^2} \iff 22a^2+10a\sqrt{1+a^2}-3=0$$ Sustituir $a = \sinh x$ para dar: $$22\sinh^2x + 10 \sinh x \cosh x - 3 = 22\sinh^2x + 5 \sinh 2x - 3$$ $$=11\cosh 2x + 5 \sinh 2x - 14 = 6\cosh 2x + 5 e^{2x} - 14$$ $$= 8e^{2x} + 3e^{-2x} - 14 \iff 8e^{4x} - 14e^{2x}+3 = (2e^{2x}-3)(4e^{2x}-1) =0$$

Toma $2x = \log{\frac{1}{4}} \iff x = -\log2 \iff a = -\frac{3}{4}$

A continuación, sustituir de nuevo para obtener $d = \frac{19}{4}$ , $c = -\frac{1}{4}$ , $b = \frac{25}{4}$

Una de estas soluciones es $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -3 & 25 \\ -1 & 19 \end{pmatrix}$$ que se verifica fácilmente para satisfacer $X^2 = \begin{pmatrix} -1 & 25 \\ -1 & 21 \end{pmatrix}$

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En función de la elección de los signos (de los cuales hay cuatro combinaciones), las cuatro soluciones para $X$ son:

$$X = \pm \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -3 & 25 \\ -1 & 19 \end{pmatrix}, \qquad X = \pm\frac{1}{2 \sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 & 25 \\ -1 & 23 \end{pmatrix}$$