Producto entre dos vectores temporales en una métrica determinada

Question

Mi problema es el siguiente. Estoy trabajando en relatividad general (espaciotiempo de 1+3 dimensiones) con una métrica desconocida. Tengo un vector temporal fijo $u^a$ y otro vector temporal $\xi^a$ para que $\xi^a\xi_a=-1$ mais $\xi^a$ puede variar. La pregunta es: ¿qué puedo decir sobre los posibles valores de $\xi^a u_a$ ?

Mi intuición es que el producto de estos vectores siempre será temporal y será mínimo cuando ambos estén alineados pero no sé si esto es correcto o cómo demostrarlo. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

En primer lugar, debe asumir que $u$ y $v$ son vectores tangentes en el mismo punto de su colector, de lo contrario la pregunta no tiene sentido. Entonces, suponiendo que $u^a u_a=-p^2$ , donde $p>0$ se obtiene la desigualdad $$ \xi^a u_a \in (-\infty, -p] $$ y todos estos valores pueden realizarse. Para demostrarlo, haga el cálculo en el $(1,1)$ -El espacio de Lorentz.