Cómo probar $\mathbb P(X\gt \mathbb E[X])=0\implies\mathbb P(X=\mathbb E[X])=1?$

Question

Este artículo contiene lo siguiente (en la sección "La teoría de la interfaz de la percepción", en la página 4 del .pdf):

[...] podemos pensar que una función de aptitud es una función $f :W [0,1],$ que asigna a cada estado $w$ de $W$ un valor de aptitud $f(w).$ [...] Si las verdaderas probabilidades de los estados del mundo vienen dadas por una medida de probabilidad $m$ en $W$ entonces se puede definir una nueva medida de probabilidad $mf$ en $W$ donde para cualquier evento $A$ de $W$ , $mf(A)$ es simplemente la integral de $f$ en $A$ con respecto a $m$ ; $\ mf$ debe normalizarse, por supuesto, para que $mf(W) = 1.$

Así, $mf(W):= \int_W f\,dm=\mathbb E[f]$ (es decir, la expectativa de $f$ asumiendo la mensurabilidad), por lo que el requisito de normalización es simplemente $\mathbb E[f]=1.$ Por lo tanto, tenemos $f :W [0,\mathbb E[f]],$ y por lo tanto $m\{w:f(w)>\mathbb E[f]\}=0.$

Pregunta : ¿No es el caso que $$m\{w:f(w)>\mathbb E[f]\}=0\implies m\{w:f(w)=\mathbb E[f]\}=1?$$ En otras palabras, ¿no han asumido los autores involuntariamente una distribución degenerada?

Probablemente sean resultados elementales que he olvidado cómo demostrar, pero creo recordar las siguientes relaciones intuitivas para cualquier v.r. real $X$ con una expectativa finita: $$\mathbb P(X\gt \mathbb E[X])=0\iff \mathbb P(X\lt \mathbb E[X])=0\iff \mathbb P(X=\mathbb E[X])=1.$$

Answer 1

$\mathbb P(X>\mathbb EX)=0$ implica $\mathbb P(X=\mathbb EX)=1$ porque $$\begin{align}\mathbb EX &= \int X = \int _{X\le \mathbb EX} X =\int_{\mathbb EX-\epsilon\le X\le \mathbb EX} X +\int_{X<\mathbb EX-\epsilon} X\\ &\le(\mathbb EX) \cdot \mathbb P(\mathbb EX-\epsilon\le X \le \mathbb EX) + (\mathbb EX-\epsilon)\mathbb P (X<\mathbb E X -\epsilon) \\ &=\mathbb EX -\epsilon\mathbb P(X<\mathbb E X-\epsilon)\end{align}$$

Por lo tanto, $\epsilon\mathbb P(X<\mathbb E X-\epsilon)\le 0$ y $\mathbb P(X<\mathbb E X-\epsilon)=0$ para cualquier $\epsilon>0$ . Y por continuidad desde abajo, $\mathbb P(X < \mathbb E X)=0$ .

Sin embargo, esto no es lo que el autor quiere decir en el contexto. Dejemos que $(W, \mathcal B, \mathbb P)$ sea un espacio de probabilidad, y $f:W\rightarrow \mathbb R^+$ sea una función no negativa tal que $0<\mathbb Ef=\int_W f<\infty$ entonces podemos construir un nuevo espacio de probabilidad $(W,\mathbb B, \mu)$ con $\mu(B)=\frac{\int_B f}{\int_W f}$ . Es decir $\frac{f}{\int_W f}$ es la densidad de probabilidad de la nueva medida de probabilidad. En otras palabras, las probabilidades se redistribuyen proporcionalmente sobre $W$ según $f$ .

El autor no afirmó que $\int_W f=1$ pero hay que dividirlo para obtener una probabilidad.