En un espacio de producto interno X, si |λx + (1-λ)y|| = |x|| para todo λ ∈ [0, 1] entonces x = y

Question

Intenté demostrar que, en un espacio de producto interno $X$ , si $\|x+(1-)y\|$ = $\|x\|$ para todos $[0, 1]$ y para $x$ y $y$ de $X$ entonces $x$ $=$ $y$ .

¿Es correcto el plugin del valor particular de $$ para obtener el resultado? ¿O hay alguna forma sencilla de probarlo?

Answer 1

Dejemos que $f(\lambda) = {1 \over 2} \|\lambda x + (1-\lambda) y \|^2$ . Desde $f$ es constante para $\lambda \in [0,1]$ Debemos tener $f'(\lambda) = 0$ pour $\lambda \in (0,1)$ .

Tenga en cuenta que $f'(\lambda) = \lambda \|x-y\|^2 -\|y\|^2 + \langle y, x \rangle$ .

De ello se desprende que $\|x-y\| = 0$ o de forma equivalente, $x=y$ .

Answer 2

Eleva al cuadrado ambos lados para obtener $$\lambda^2 \|x-y\|^2 + \|y\|^2 + \lambda \langle x-y, y\rangle = \|x\|^2$$ para todos $\lambda \in [0,1]$ . Tomando $\lambda = 0$ en el estado original muestra que $\|x\|=\|y\|$ , por lo que los dos términos anteriores pueden ser cancelados. Por lo tanto, para todo $\lambda > 0$ tenemos $$\lambda \|x-y\| = \langle y - x, y\rangle.$$

Answer 3

Considere $\lambda = 0, {1\over2}$

$\|y\|=\|{x+y\over 2}\|=\|x\|$

$\|{x+y\over 2}\|=\sqrt{{\|x\|^2\over4}+{\|y\|^2\over4}+{\langle x,y\rangle\over2}}=\sqrt{{\|x\|^2\over2}+{\langle x,y\rangle\over2}}\leq \|x\|$ con igualdad si y sólo si $x=y$