No todas las funciones de $[0,1]$ es un límite puntual de funciones continuas en $[0,1]$

Question

Cómo demostrar que no todos los $\mathbb{R}$ -en una función valorada en $[0,1]$ es un límite puntual de los continuos $\mathbb{R}$ -funciones valoradas en $[0,1]$ ?

Existe un teorema que afirma que el conjunto de puntos de discontinuidad de un límite puntual de una continua $\mathbb{R}$ -es un conjunto de primera categoría de Baire. Así que podemos tomar, por ejemplo, la función $f=\chi([0,1]\cap \mathbb{Q})$ y ésta sería la función que no es límite puntual de funciones continuas, según el teorema.

Pero el teorema es fuerte, afirma más de lo que necesitamos y su demostración no es trivial. ¿Hay alguna forma más sencilla de demostrar que $f=\chi([0,1]\cap \mathbb{Q})$ (o cualquier otra función) no es un límite puntual de funciones continuas?

Answer 1

EDIT: Como consecuencia de leer la pregunta demasiado rápido, todo lo que he escrito a continuación se refiere a las funciones $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ no $[0, 1]\rightarrow\mathbb{R}$ - como ejercicio, demostrar que esto no afecta a nada.

---

La forma más fácil (aunque menos esclarecedora): contarlos.

Hay $2^{2^{\aleph_0}}$ -muchas funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ pero sólo $2^{\aleph_0}$ -muchos de ellos son continuos (el ejercicio lo peor prueba imaginable de que existen funciones discontinuas). Y el número de secuencias de funciones continuas no es mayor: $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ .

Nótese que esto demuestra un resultado más fuerte: el Jerarquía de Baire es la jerarquía de funciones que se obtiene al comenzar con las funciones continuas y tomar iterativamente límites puntuales. La clase Baire 1 es continua, y para $\alpha>1$ , clase Baire $\alpha$ es el conjunto de funciones que son el límite de una secuencia de funciones cada una de ellas individualmente en algún $<\alpha$ -nivel de la jerarquía de Baire. La jerarquía de Baire continúa por $\omega_1$ -muchos niveles, y luego dejas de obtener nuevas funciones. El argumento del recuento muestra que hay funciones que no son de la clase Baire $\alpha$ para un número fijo y contable de $\alpha$ . Y, si la hipótesis del continuo falla - es decir, si $2^{\aleph_0}>\aleph_1$ - entonces este argumento muestra que hay funciones que no están en cualquier ¡nivel de la jerarquía de Baire!

(Por cierto, existe una jerarquía similar, la Jerarquía de Borel y todo lo que he escrito sobre la jerarquía de Baire vale también para la jerarquía de Borel).

De hecho, podemos demostrar que hay algunas funciones que no están en la jerarquía de Baire, sin ninguna suposición sobre la aritmética cardinal. Pero esto es un poco más complicado. Es lo siguiente:

• Fijar una biyección $f$ de $\omega_1\times\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ . Básicamente, a cada ordinal contable $\alpha$ , $f$ asocia a continuos-muchos reales.

• Por separado, para cada $\alpha\in\omega_1$ , fijar una biyección $g_\alpha$ entre $\mathbb{R}$ y el conjunto de funciones de clase Baire $\alpha$ . (Tal biyección existe, por el argumento anterior; esto utiliza la inducción transfinita).

• Ahora los combinamos. Dejemos que $\mathbb{B}$ sea el conjunto de todas las funciones de la jerarquía Baire. Podemos obtener una función $h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{B}$ como sigue: dado $r$ , dejemos que $f^{-1}(r)=(\alpha, s)$ - dejamos que $h(r)$ sea $g_\alpha(s)$ .

• En este punto, compruebe que $h$ es de hecho una suryección de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{B}$ .

• ¡Y ahora diagonalizamos! Dejemos que $F(r)=h(r)(r)+1$ . Entonces $F\not\in\mathbb{B}$ . Hecho.

---

Obsérvese que esto se puede explicitar: hay muchas biyecciones fácilmente descriptibles (aunque un poco desordenadas) entre $\mathbb{R}$ y el conjunto de funciones continuas. Y también hay muchas inyecciones razonablemente naturales de $\mathbb{R}^\omega$ y $\mathbb{R}$ . Combinando estos, obtenemos una biyección explícita $\beta$ de $\mathbb{R}$ al conjunto $\mathcal{S}$ de secuencias de funciones continuas. Ahora, podemos usar esto para definir una función $F$ que no es un límite puntual de funciones continuas, como sigue. Si $r$ es un real, dejamos que $F(r)$ sea

• $1+\lim_{n\rightarrow\infty} \beta(r)(n)(r)$ si ese límite existe, y

• $0$ si ese límite no existe.

Este $F$ tiene una definición perfectamente explícita, aunque molesta. Y se diagonaliza contra las secuencias de funciones continuas, por lo que no es de clase Baire 2. Del mismo modo, podemos encontrar funciones explícitas aunque desordenadas que no están en la clase Baire $\alpha$ para un número fijo y contable de $\alpha$ . Donde esto se rompe es en el intento de obtener una función que no está en la jerarquía de Baire en absoluto: es consistente con ZF que cada función está en la jerarquía de Baire (esto implica matar la elección a un grado estúpidamente extremo, sin embargo - $\omega_1$ acaba siendo una unión contable de conjuntos contables).

Answer 2

Notación: Definir contable como no incontable.Para cualquier función $f$ y cualquier conjunto $S$ definir $f^{-1}S=\{x : f(x)\in S\}$ . Para cualquier familia $A$ de conjuntos, $[A]^{\leq \omega}$ denota la familia de subconjuntos contables de $A$ Definir $F_{\sigma}(A)=\{\cup B : B\in [A]^{\leq \omega}\}$ y $G_{\delta} (A)=\{\cap B :B\in [A]^{\leq \omega}\}. $ Lo siguiente puede demostrarse brevemente por los medios más elementales : Sea $A$ sea una familia de subconjuntos de $R$ (los reales). Sea $(f_n)_{n\in N}$ sea una secuencia de funciones reales que convergen puntualmente a $f$ . Si cada $f_n$ tiene la propiedad de que $f_n^{-1}V\in A$ por cada uno abierto $V\subset R$ entonces $$\forall x\in R (f^{-1}\{x\}\in G_{\delta}(F_{\sigma}(A)).$$ y por cada uno abierto $V\subset R$ $$f^{-1}V\in F_{\sigma}(G_{\delta}(F_{\sigma} (A))).$$ Por supuesto, si $A$ es el conjunto de subconjuntos abiertos de $R$ entonces cada $f_n$ es continua y $F_{\sigma}( A)=A$ y cada $f^{-1}\{x\}$ es un $G_{\delta}$ set...... Tenga en cuenta que si $(f_n)_{n\in N}$ es una secuencia de funciones continuas de $[0.1]$ a $R$ podemos extenderlos continuamente al dominio $R$ dejando $f_n(x)=f_n(0)$ para $x<0$ y $f_n(x)=f(1)$ para $x>1$ .

Answer 3

Prólogo

Dado el espacio de funciones arbitrarias.
Consideramos el álgebra puntual y la topología.

Función Espacio

Espacio de funciones dado: $$I:=[0,1]:\quad\mathcal{F}(I,\mathbb{C}):=\mathbb{C}^I$$

Definir la estructura lineal: $$(\eta+\vartheta)(x):=\eta(x)+\vartheta(x)\\(\lambda\eta)(x):=\lambda\eta(x)$$

Dotar de seminormales: $$\|\eta\|_x:=|\eta(x)|\quad(x\in I)$$

Es un espacio localmente convexo.

Aproximación

Para los Kroneckers: $$\omega_n\in\mathcal{C}(I,\mathbb{C}):\quad\omega_n\stackrel{n\to\infty}{\to}\delta_a$$

Construye la secuencia: $$\omega_n(x):=1_{[-\pi,\pi]}\left[\tfrac{1}{n}(x-a)\right]\cos\left[\tfrac{1}{n}(x-a)\right]$$

Eso se aproxima.

Kroneckers

Considera la red: $$\eta\in\mathcal{F}(I,\mathbb{C}):\quad\eta_S:=1_S\eta\stackrel{S\to I}{\to}\eta$$

Subconjuntos como índices: $$S\subseteq I:\quad\#S<\infty$$

Orden por inclusión: $$S\leq S':\iff S\subseteq S'$$

Suma de Kroneckers: $$\eta_{\{s_1,\ldots,s_K\}}=\eta(s_1)\delta_{s_1}+\ldots+\eta(s_K)\delta_{s_K}$$

Por lo tanto, son totales.

Densidad

Denota los finitos: $$\mathcal{F}_0(I,\mathbb{C}):=\{\eta\in\mathcal{F}(I,\mathbb{C}):\operatorname{supp}\eta<\infty\}$$

Ahí está el apoyo: $$\operatorname{supp}\eta:=\{x\in I:\eta(x)\neq0\}$$

Denota Kroneckers: $$\mathcal{S}(I,\mathbb{C}):=\{\delta\in\mathcal{F}(I,\mathbb{C}):a\in I\}$$

Por lo anterior:* $$\overline{\mathcal{C}(I,\mathbb{C})}\supseteq\mathcal{S}(I,\mathbb{C})\quad\langle\mathcal{S}(I,\mathbb{C})\rangle=\mathcal{F}_0(I,\mathbb{C})\quad\overline{\mathcal{F}_0(I,\mathbb{C})}=\mathcal{F}(I,\mathbb{C})$$

En total se tiene: $$\overline{\mathcal{C}(I,\mathbb{C})}=\overline{\langle\mathcal{S}(I,\mathbb{C})\rangle}=\overline{\mathcal{F}_0(I,\mathbb{C})}=\mathcal{F}(I,\mathbb{C})$$ Eso es densidad.

*Recortes: Casco lineal

Epílogo

Entonces las sumas de Kroneckers eran densas y también las continuas.
La sutileza era que las redes van más allá de las secuencias.