¿En qué se equivoca el siguiente razonamiento?

Question

He leído en el siguiente documento "OPTIMIZACIÓN DE LOS PRODUCTOS DE LAS FUNCIONES CONCAVAS" que si $f_1(x)$ $f_2(x)\cdots f_n(x)$ son funciones cóncavas positivas en algún intervalo $[a,b]$ entonces su producto $h(x)=f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x)$ tiene la siguiente propiedad.

1- Existen puntos $\alpha$ y $\beta$ con $a\leq \alpha \leq\beta\leq b$ tal que $h$ es estrictamente creciente en $[a,\alpha)$ , constante en $(\alpha,\beta)$ y estrictamente decreciente en $(\beta,b]$ .

En mi opinión, esto significa que $h(x)$ no puede tener máximos aislados en $[a,b]$ (debido a las condiciones descritas para la derivada). Sin embargo he visto algunos ejemplos donde la función puede tener más de un máximo y el signo de la derivada también cambia más de una vez. ¿Puede alguien explicarme en qué me equivoco al entender esto?

Answer 1

La primera función aumenta primero hasta el máximo global único en $[0,1]$ y luego disminuye. No tiene múltiples máximos aislados.

Para el segundo ejemplo $h(x)=(1-x)(1-x^2)$ es el único máximo global en $[0,1]$ es $0$ y es una función decreciente sobre $[0,1]$ .

Edición: He incluido la gráfica de la primera función.