Para cualquier $\phi\in C_b(X)$ , donde $(X,d)$ es un espacio métrico. ¿Por qué la secuencia $$ \phi^k(x)=\sup_{y\in X}(\phi(y)-kd(x,y))$$ convergen a $\phi$ desde arriba con $k\to\infty$ ? Intuitivamente es claro, que uno quiere hacer el último término pequeño ya que es negativo pero no puedo probarlo.
Respuesta
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Respuesta: En el primer paso, observamos que la secuencia $\{\phi^k\}$ está disminuyendo debido a $\phi(y)-(k+1)d(x,y)\le \phi(y)-kd(x,y)$ . Y en segundo lugar, ya que $\{\phi^k\}$ tiene un límite inferior $\phi$ debido a
$\phi^k(x)\ge \phi(x)-kd(x,x)=\phi(x)$ .
Entonces, por los dos argumentos anteriores, implicamos que $\phi^k\to \phi$ . Basta con demostrar que $\phi(x)$ es el mayor límite inferior de la secuencia $\{\phi^k(x)\}$ . Para ver esto, se supone que existe $\lambda$ tal que $$\phi^k(x)\ge\lambda> \phi(x)~~~(1) \equiv sup_{y\in X} (\phi(y)-kd(x,y))>\lambda$$ lo que da que hay una secuencia $y_k\in X$ tal que $$\frac{\phi(y_k)}{k}-d(x,y_k)> \frac{\lambda}{k}$$ desde $\phi$ está acotado tomando el límite como $k\to\infty$ uno tiene $d(x,y_k)\to0$ es decir $y_k\to x$ . Por otro lado ya tenemos $\phi(y_k)\ge\phi(y_k)-kd(x,y_k)>\lambda$ . Tomando el límite como $k\to\infty$ deriva que $\phi(x)\ge\lambda$ lo que contradice (1).
