Calcular el límite de una función de dos variables

Question

¿Cómo se calcula este límite? $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+9}-3}$$

Answer 1

Usted tiene para $(x,y) \neq (0,0)$ : \begin{align} \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+9}-3} =\frac{(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2+9}-3} \cdot \frac{\sqrt{x^2+y^2+9}+3}{\sqrt{x^2+y^2+9}+3} =\sqrt{x^2+y^2+9}+3 \end{align}

Por lo tanto: \begin{align} \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+9}-3} =\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\sqrt{x^2+y^2+9}+3=\color{blue}{6} \end{align}

Answer 2

HINT Si usted conozca el límite existe y no es necesario demostrarlo, se puede tomar, por ejemplo $y=0$ reduciendo su límite a $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}-3} $$ y aplicar la regla de L'Hospital.