$x_1:=1$ y $x_{n+1}:=x_n+\cos(x_n) ,\forall n \in \mathbb N$ , lo hace $(x_n)$ ¿converger?

Question

Si $x_1:=1$ y $x_{n+1}:=x_n+\cos(x_n) ,\forall n \in \mathbb N$ entonces es cierto que la secuencia $(x_n)$ ¿es convergente? Si lo es, ¿cuál es el límite?

Answer 1

Pista: Demuestre que $f(x)=x+\cos(x)$ es creciente, que $x_2=1+\cos(1) \geq x_1$ y que $x_1<\frac{\pi}{2}$ . Entonces demuestre que $x_n$ está aumentando, y $x_n\leq \frac{\pi}{2}$ para todos $n$ .

Answer 2

Sugerencia :

Con la inducción se puede demostrar que $1\leq x_{n}<\frac{1}{2}\pi\wedge x_{n}<x_{n+1}$ para cada $n$ . Así que la secuencia es creciente y acotada.

Answer 3

Si tienes el principio de mapeo de contracción, puedes usarlo en $T(x) = x + \cos(x)$ en un intervalo adecuado que contenga $x = {\pi \over 2}$ .

Como alternativa, puede mostrar $|x_n - {\pi \over 2}|$ disminuye geométricamente para $n$ lo suficientemente grande... si $y_n = x_n - {\pi \over 2}$ su recursión se convierte en $y_{n+1} = y_n - \sin(y_n)$ y $\sin y_n \sim y_n$ para los pequeños $y_n$ .

Answer 4

De forma similar a las ideas dadas en las otras respuestas, se puede demostrar el resultado utilizando las dos propiedades siguientes:

1. $0\leq x \leq \pi/2$ $\Rightarrow$ $0 \leq x+ \cos(x) \leq \pi/2$ .
2. $cos(x)\geq 0$ , para $x\in[0,\pi/2]$ .

Para demostrar el primer punto, utilice $x + \cos(x) = x + \sin(\pi/2-x)$ y el hecho $\sin(x) \leq x$ para $x \geq 0$ .

La primera propiedad dice que $x_n \in [0,\pi/2]$ . Utilizado con el primero, el segundo demuestra que $x_n$ es creciente y, por tanto, convergente.