Grupos con el fin divisible por $d$ y ningún elemento de orden $d$

Question

Se me ocurrió que de alguna manera yo creo que el siguiente instrucción sin saber realmente cómo demostrarlo: para cada compuesto natural de número de $d$ hay un grupo cuyo orden es divisible por $d$ aún no contiene ningún elemento de orden $d$. Este es un tipo de conversar a Cauchy Teorema de que todo grupo de orden divisible por un primo $p$ contiene un elemento de orden $p$.

Esto es obviamente cierto al $d$ es tal, que no es más que un solo tipo de isomorfismo de grupos de orden $d$; acaba de tomar cualquier no-cíclico de grupo y listo. Pero hay compuestos de números de $d$ de la que todo grupo de orden $d$ es cíclico (creo que estos números, junto con los números primos, son llamados "Cíclico números").

Por ejemplo, cada grupo de orden $15$ es cíclico. Sin embargo, el grupo $A_5$ es de orden divisible por $15$ pero no contiene ningún elemento de ese orden.

¿Cómo proceder para construir un grupo compuesto $d$?

Answer 1

Deje $d$ ser compuesto, squarefree número. Deje $p$ ser el más grande de la primer división $d$. A continuación, el grupo simétrico $S_p$ le han pedido un múltiplo de $d$ (ya que su fin es $p$-factorial, un múltiplo de cada primer hasta el $p$), pero ningún elemento de orden $d$. Cada elemento de a $S_p$ es un producto de ciclos disjuntos; a tiene un elemento de orden múltiple de $p$, uno de los ciclos debe ser un $p$-ciclo; pero no hay ningún ciclo discontinuo a partir de que $p$-ciclo.