¿Existe una fórmula general para el número de elementos de orden $k$ en $S_n$ ?

Question

Cuántos elementos de orden $n$ hace $S_7$ ¿contiene? ¿Existe una fórmula general para calcular cuántos elementos de orden $k$ (para un determinado) en $S_n$ ?

Answer 1

Se puede llegar a una fórmula de la siguiente manera. Una permutación $\pi$ satisface $\pi^k = e$ si todos los ciclos tienen una longitud divisible por $k$ . Por lo tanto, utilizando las funciones generadoras exponenciales se puede contar este número como el coeficiente de $x^n/n!$ en $$ \exp\sum_{t|k} \frac{x^t}{t}. $$ Para calcular el número de permutaciones de orden exacto $k$ se puede utilizar la inclusión-exclusión (en este caso, también se conoce como inversión de Möbius). Cuando $k$ es primordial esto será particularmente sencillo.