Congruencias lineales

Question

Entiendo cómo resolver una ecuación como: $$17x \equiv 3 \pmod 5$$

Pero, ¿existe un método conocido para resolver una congruencia de la forma

$$17 \equiv 3\frac{\sqrt{x}}{2} \pmod 5\quad ?$$

¿Es tan simple como mover el $x$ mediante operaciones y aplicando la congruencia a la nueva ecuación? $$(34/3)-\sqrt{x}\equiv 0 \pmod5$$ o $$(14)/(\sqrt{x})\equiv3\pmod5$$ ¿O es la posición de $x$ ¿Insignificante?

Answer 1

Hay que tener cuidado con las raíces cuadradas en las ecuaciones modulares, ya que no todos los números tienen raíz cuadrada (al igual que los enteros), y cuando la tienen, no hay forma de seleccionar una como hacemos con los números reales (donde siempre elegimos la no negativa). Es decir, $\sqrt{x}$ es no está bien definido modulo $5$ . Por ejemplo, si $x=4$ , lo hace $\sqrt{x}$ representan $2$ o representa $3$ ? Ambos números, al cuadrado, son congruentes con $4$ modulo $5$ .

Pero se puede trabajar esencialmente de la misma manera que con las ecuaciones. En $$17\equiv \frac{3\sqrt{x}}{2}\pmod{5}$$ observamos que $17\equiv 2\pmod{5}$ multiplicando por $2$ obtenemos $$4\equiv 3\sqrt{x}\pmod{5}.$$ La inversa multiplicativa de $3$ modulo $5$ es $2$ por lo que multiplicando por $2$ y señalando que $8\equiv 3\pmod{5}$ obtenemos $$3\equiv \sqrt{x}\pmod{5}.$$ Así que $9\equiv x \pmod{5}$ . Por lo tanto, $x\equiv 4\pmod{5}$ . Tenga en cuenta que $4$ hace tienen una raíz cuadrada módulo $5$ de hecho, tiene dos raíces cuadradas: $2$ y $3$ . Sin embargo, $\sqrt{x}=2$ no satisface la ecuación original, por lo que hay que tener $x\equiv 4\pmod{4}$ y $\sqrt{x}\equiv 3\pmod{5}$ .