un subconjunto de $l_2$ .

Question

El ejercicio es: demostrar que el conjunto $A=\{x=(x_n)\subset l_2: \sum(1+\frac{1}{i})x_i^2)\leq 1\}$ no contiene un elemento con norma igual a $\sup\{\|x\|_2,x\in A\}$ .

Mi intento: demostré que $\forall x\in A, \|x\|_2^2=\sum x_i^2< \sum x_i^2+\frac{x_i^2}{i}\leq 1$ . Y $\sup_{x\in A} \|x\|=1$ . Usando eso $l_2$ es un espacio de Hilbert, ¿hay alguna manera de demostrar que, suponiendo que existe un elemento que tiene norma igual a $\sup\{\|x\|_2,x\in A\}$ ¿encuentra alguna contradicción? Este ejercicio lo encontré en Análisis funcional y geometría de dimensiones infinitas- Marián Fabian.

Answer 1

Considere $x\in A$ . Ya que para todos los $i\ge 1$ tenemos $x_i^2\le (i+1/i)x_i^2$ concluimos sumando estas desigualdades que $\Vert x\Vert_2^2\le 1$ Así que $$\sup_{x\in A}\Vert x\Vert_2\le 1.$$ Ahora, si definimos $x^{(k)}\in\ell_2$ por $x^{(k)}_k=1/\sqrt{1+1/k}$ y $x^{(k)}_i=0$ para $i\ne k$ entonces $x^{(k)}\in A$ y $$\Vert x^{(k)}\Vert_2=\frac{1}{\sqrt{1+1/k}}\le \sup_{x\in A}\Vert x\Vert_2\le 1$$ Pero como $k$ es arbitraria concluimos dejando que $k$ tienden a $\infty$ que $$ \sup_{x\in A}\Vert x\Vert_2=1.$$

Ahora, supongamos que existe $y\in A$ tal que $\Vert y\Vert_2=1$ entonces $$\sum_{i\ge1}\frac1i y_i^2= \sum_{i\ge1}\left(1+\frac1i \right)y_i^2 -\sum_{i\ge1}y_i^2\le1-\Vert y\Vert_2^2=0$$ Así, $$\sum_{i\ge1}\frac1i y_i^2=0$$ Así que $y_i=0$ para todos $i$ y esto contradice el hecho de que $\Vert y\Vert_2=1$ . Esta contradicción demuestra que no hay $y\in A$ tal que $\Vert y\Vert_2=1$ . $\qquad\square$