$x\sqrt{x-1}$ bijetividad

Question

Así que sé que para demostrar que la función es una biyectividad tengo que resolver la ecuación $x\sqrt{x-1}= y$ y encontrar una y sólo una solución, y estoy teniendo problemas para hacerlo. La función es de $[1 ; +\infty[ \to [0 ; +\infty[$

Answer 1

Encontrar una inversa explícita será difícil ya que en última instancia hay que resolver la ecuación cúbica $x^2(x-1)=y^2$ (después de haber justificado por qué se puede cuadrar sin perder ninguna información en este caso). Aunque se puede hacer que un ordenador haga esto, por ejemplo puede consultar esta solución . Pero entonces hay que componerlos de ambas maneras para demostrar que esto funciona, lo cual es igualmente una pesadilla. En su lugar, yo sugeriría lo siguiente:

Dejemos que $f(x)= x \sqrt{x-1}$ .

La subjetividad: En primer lugar, ¿qué es $f(1)$ ? ¿Qué es $\lim_{x \to \infty} f(x)$ ? Ahora puedes usar un ingenioso teorema de tres palabras que aprendiste en Cálculo para justificar que $f(x)$ "acierta" con todos los números reales de $0$ a $\infty$ . [Para esto necesitarás continuidad, pero por el trabajo que harás a continuación, tu función es diferenciable, por lo tanto continua].

Inyectabilidad: Encuentre $f'(x)$ ? Dado que su dominio es $[1,\infty)$ Muestra o explica por qué $f'(x)>0$ en este intervalo. Pero entonces $f(x)$ es estrictamente creciente. Entonces se hace por un pequeño lema que hay que demostrar:

Lema: Supongamos que $f(x)$ es diferenciable con $f'(x)>0$ . Entonces, si $f(a)=f(b)$ , entonces debe ser que $a=b$ (para que $f$ es inyectiva). [Pista: Supongamos que $f(a)=f(b)$ . Entonces $f(x)$ es diferenciable con dos valores iguales, ¿qué teorema puedes utilizar para justificar que debe haber un punto donde $f$ "se da la vuelta" para que $f'(x)=0$ ? Piensa en esto un poco y debe rollo a través de tu mente].

Una vez hecho todo esto, has mostrado $f(x)$ es inyectiva y sobreyectiva. Pero entonces $f(x)$ es una biyección de $[1,\infty)$ a $[0,\infty)$ .

Answer 2

1) Inyectiva.

$f(x)=x(x-1)^{1/2}$ es estrictamente creciente.

Dejemos que $1 \le x_1 < x_2.$

$g(x):=√x$ es estrictamente creciente.

Para $a,b \ge 0:$

$a-b=(√a-√b)(√a+√b).$

$a-b >0$ implica $√a-√b >0$ (¿por qué?).

Por lo tanto,

$(x_1-1)^{1/2} \lt (x_2-1)^{1/2}$ y

$x_1(x_1)^{1/2} \lt x_2(x_2-1)^{1/2}$ (¿por qué?), es decir

estrictamente creciente, inyectiva.

2) Bijetivo

Dejemos que $y > 0 =f(0). $

Desde $\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)= \infty$ , $f$ no está acotado por encima. Hay $b>0$ s.t.

$y < f(b)$ .

Consideremos la función continua $f$ en

$[0,b]$ con $f(0)\lt y \lt f(b)$ .

Teorema del valor intermedio(Corolario):

Hay un $p \in [0,b]$ con $f(p)=y$ ,

por lo tanto, es subjetiva.