Isometría en una densa sub-espacio de un espacio de Banach?

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach y deje $D$ ser una densa sub-espacio de $X$. No sé si el hecho siguiente es verdadero:

Hecho: Para cada (lineal) isometría $T\in\operatorname{Iso}(X)$, y para cada $\varepsilon > 0$ no es una isometría (lineal) $S\in\operatorname{Iso}(D)$: $\|S-T\|<\varepsilon$.

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

He estado pensando en esto durante toda la semana, y te juro que tengo un contraejemplo. Considere la posibilidad de $L^1([0,1])$ con el subconjunto denso $C^{\infty}$. La isometría en el espacio principal es la multiplicación de cada función una función definida a tramos, que es 1 en el intervalo de $[0,1/2)$ $-1$ en el resto de la unidad de intervalo. Esta es una isometría, pero no soluciona $C^{\infty}$, ya que presenta grandes lagunas.

Ahora, existen funciones continuas que el puente de tales brechas en corto tiempo, pero la más empinada de una función de la norma 1 es $1/2$, el más rápido de su imagen bajo la hipótesis de una isometría de $C^{\infty}$ tendría que cerrar la brecha para permanecer a una distancia fija de distancia. Luego, tome dos funciones de norma 1, uno no tan empinada, uno muy empinado; la imagen de su diferencia es la diferencia de sus imágenes, que iba a cerrar la brecha un poco de a poco y así no es una isometría.

Lo siento, esto no concretarse más, y estaría interesado en escuchar sus pensamientos.

Answer 2

Realmente no entiendo tu contraejemplo. Para asegurarse de que hablamos el mismo idioma, voy a reanudar lo entiendo para su contraejemplo:

Para $X$ tomar $L^{1}([0,1])$ $D$ tomar $C^{\infty}([0,1])$. Después de considerar el siguiente mapa:

$g(x)=\left\{ \begin{array}{ccccc} 1& if & x\in [0,\frac{1}{2}) \\ -1& if & x \in (\frac{1}{2},1] \\ \end{array}\right.$

Ahora para $T$ tomar

$\begin{array}{lll} T:& L^{1}([0,1]) &\longrightarrow L^{1}([0,1])\\ &f &\longmapsto gf\\ \end{array}$

Pero no entiendo por qué te las arreglas para tener una contradicción con esto. Por favor, siéntase libre de corregirme si mi interpretación de que contraejemplo no es cierto.

Gracias a uno de los más