Funciones delta como estados propios

Question

En mecánica cuántica, es habitual decir que el estado propio del operador de posición en 1D es la función delta de Dirac.

Más formalmente, defina un mapa lineal $\hat x$ en alguna versión mejorada de $L^2(\mathbb R)$ por $f \mapsto xf$ . Entonces $f_{x_0}$ es una función propia de $\hat x$ con valor propio $x_0$ si

$$\hat x f_{x_0} = x_0 f_{x_0}$$

Cómo llegamos de aquí a $f$ siendo necesariamente una función delta de Dirac? Dos observaciones iniciales:

1. $f$ está normalizado en el sentido de que $\int_{\mathbb R} f^2 \ dx = 1$ . Por lo tanto, a partir de la ecuación de valores propios $x_0 = \int_{\mathbb R} x_0f^2(x) \ dx = \int_{\mathbb R} xf^2(x) \ dx$
2. $\hat x$ es simétrica/Hermitiana y, por tanto, si $f_{x_0}$ es una función propia para el valor propio $x_0$ y $f_{x_1}$ es una función propia de $x_1$ entonces esas dos funciones son ortogonales y $\int_{\mathbb R} f_{x_0}(x)f_{x_1}(x) \ dx = 0$ .

Está claro que si tenemos la versión correcta de $L^2(\mathbb R)$ entonces la función delta de Dirac $\delta(x-x_0)$ es una función propia. ¿Pero cómo demostramos que es la única función propia? La ortogonalidad parece útil, pero no sé cómo formalizarla.

¿O es que no podemos demostrar esto y que el eigespacio de $\hat x$ no es unidimensional?

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Para cualquier medida no atómica la "función" δ no puede ser un elemento de L ². No es un elemento de ningún $L^p$ Incluso L ¹ (aunque este último es un hecho más fino que δ ∉ L ²). De ninguna manera es δ " L ²-normalizado" porque "δ²" es una tontería. Cualquier intento de alcanzar δ con (una secuencia de) funciones continuas llevará a aumentar L ² hasta el infinito. No se puede elevar al cuadrado una distribución, ni (generalmente) multiplicar dos distribuciones. Un profesor de funciones generalizadas debería informar a los alumnos sobre ello.

Hablar de tales "funciones propias" es un abuso del lenguaje motivado por la proyección de la intuición (y la notación) de las dimensiones finitas a los espacios de Hilbert y las álgebras de operadores.

Gelfand propuso una teoría de espacios de Hilbert "amañados" para formalizar estas cosas, pero no tuvo mucha aceptación. La teoría espectral ofrece un enfoque alternativo; cambia el énfasis de los "estados propios" a los "espacios propios", que tienen más sentido con el espectro continuo.

Answer 2

Puede que esta no sea una respuesta completa y 100% rigurosa, pero podemos llegar a alguna parte utilizando un análisis regular.

Supongamos que $x_0 \neq x_1$ son dos números reales y supongamos sin pérdida de generalidad que $f$ tiene un valor real y $x_1>x_0$ . Sea $0<\epsilon<(x_1-x_0)$ . Si asumimos por el contrario que $f_{x_0}$ tiene una integral no nula en la vecindad $(x_1-\epsilon, x_1+\epsilon)$ podemos realizar los siguientes cálculos: $$\int_{x_1-\epsilon}^{x_1+\epsilon} f_{x_0}(t) \,dt = \frac{1}{x_1-x_0} \int_{x_1-\epsilon}^{x_1+\epsilon} (x_1-x_0)f_{x_0}(t)\,dt = \frac{1}{x_1-x_0} \int_{x_1-\epsilon}^{x_1+\epsilon} (x_1-t)f_{x_0}(t)\, dt,$$ donde utilicé el hecho de que $x_0 f_{x_0}(t) = tf_{x_0}(t)$ . Pero entonces, por la elección de la región de integración, vemos que $(x_1-t)\leq |x_1-t| \leq \epsilon$ y por lo tanto $$\int_{x_1-\epsilon}^{x_1+\epsilon} f_{x_0}(t) \,dt \leq \frac{1}{x_1-x_0}\epsilon \int_{x_1-\epsilon}^{x_1+\epsilon} f_{x_0}(t)\,dt < \int_{x_1-\epsilon}^{x_1+\epsilon} f_{x_0}(t)\,dt$$ desde $\epsilon/(x_1-x_0) < 1$ . Suponemos que esta integral es distinta de cero, por lo que llegamos a la afirmación $1<1$ . Esto no tiene sentido, por lo que debemos tener que $$\int_{x_1-\epsilon}^{x_1+\epsilon} f_{x_0}(t) \,dt = 0$$ para cada uno lo suficientemente pequeño $\epsilon$ . Esto demuestra que $f_{x_0}$ se integra a $0$ en cada barrio abierto que no contenga $x_0$ lo que a su vez implica que $f_{x_0}(t)=0$ para $t\neq x_0$ .

Observaré que no estoy seguro de cómo hacer riguroso un argumento que implique funciones propias del operador de posición, ya que ninguna función $f \in L^2$ será una función propia, pero para un argumento de plausibilidad esto podría ser suficiente para convencer a alguien de que las funciones delta de Dirac son el único tipo de funciones que se pueden obtener.