Sea F un campo char 0,
K sea una extensión normal de F
y L sea una extensión normal de K.
¿Se puede demostrar o refutar que L es una extensión normal de F?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
ray247
Puntos
3268
Aquí intento explicar mejor el ejemplo de zcn.
Dejemos que $E=\mathbb{Q}, F=\mathbb{Q}(\sqrt{2}), G=\mathbb{Q}(2^{1/4}), H=\mathbb{Q}(2^{1/4},i)$ . Entonces vemos que $$ \textrm{Gal}(F|E)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \textrm{Gal}(G|F)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\textrm{Gal}(H|E)=\mathbb{D}_{4} $$ donde los generadores de $\textrm{Gal}(H|E)$ son $g:i\rightarrow -i$ (conjugación compleja) y $h:2^{1/4}\rightarrow i*2^{1/4}$ (permutación de las raíces). La forma en que lo pensamos es $F$ es el campo fijo de $H$ en $\langle g,h^2\rangle$ y $G$ es el subcampo fijo de $H$ en $\langle g\rangle$ mientras que $E$ es el subcampo fijo de todo el grupo. Si $G$ es una extensión normal sobre $E$ entonces por correspondencia de Galois $\langle g\rangle$ será un subgrupo normal de $\langle g,h\rangle$ . Pero sabemos que $$ h^{-1}gh=gh^3\not\in \langle g\rangle $$
Por lo tanto, no puede ser normal. Pero tenemos $\langle g\rangle \unlhd \langle g,h^2\rangle$ y $\langle g,h^2\rangle \unlhd \langle g, h\rangle$ .
Intento hacerlo a mano principalmente porque la pregunta ha aparecido una y otra vez:
¿Son transitivos los subgrupos normales?
Ejemplo de composición de dos extensiones de campo normal que no es normal.
Hace $K/E$ y $E/F$ siendo la media normal $K/F$ ¿es normal?
y probablemente en otros lugares. Pero de alguna manera falta un cálculo explícito. No estoy seguro de que esto ayude. Esto es esencialmente lo mismo que la Wikipedia ejemplo con $\mathbb{D}_{4}$ en lugar de $\mathbb{S}_{3}$ . Recuerdo que este era un conocido execrise de la clase de teoría de Galois de primer año, y por razones desconocidas nunca lo hice.
