¿La extensión normal de la extensión normal es siempre normal?

Question

Sea F un campo char 0,
K sea una extensión normal de F
y L sea una extensión normal de K.
¿Se puede demostrar o refutar que L es una extensión normal de F?

Answer 1

Dejemos que $F = \mathbb{Q}$ , $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ , $L = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ . Entonces $K/F, L/K$ son de grado $2$ extensiones, por lo tanto normales (y de Galois) pero $L/F$ no es normal (el campo de división de $x^4 - 2$ tiene grado $8$ en $\mathbb{Q}$ ).

Answer 2

Aquí intento explicar mejor el ejemplo de zcn.

Dejemos que $E=\mathbb{Q}, F=\mathbb{Q}(\sqrt{2}), G=\mathbb{Q}(2^{1/4}), H=\mathbb{Q}(2^{1/4},i)$ . Entonces vemos que $$\textrm{Gal}(F|E)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \textrm{Gal}(G|F)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\textrm{Gal}(H|E)=\mathbb{D}_{4}$$ donde los generadores de $\textrm{Gal}(H|E)$ son $g:i\rightarrow -i$ (conjugación compleja) y $h:2^{1/4}\rightarrow i*2^{1/4}$ (permutación de las raíces). La forma en que lo pensamos es $F$ es el campo fijo de $H$ en $\langle g,h^2\rangle$ y $G$ es el subcampo fijo de $H$ en $\langle g\rangle$ mientras que $E$ es el subcampo fijo de todo el grupo. Si $G$ es una extensión normal sobre $E$ entonces por correspondencia de Galois $\langle g\rangle$ será un subgrupo normal de $\langle g,h\rangle$ . Pero sabemos que $$h^{-1}gh=gh^3\not\in \langle g\rangle$$
Por lo tanto, no puede ser normal. Pero tenemos $\langle g\rangle \unlhd \langle g,h^2\rangle$ y $\langle g,h^2\rangle \unlhd \langle g, h\rangle$ .

Intento hacerlo a mano principalmente porque la pregunta ha aparecido una y otra vez:

¿Son transitivos los subgrupos normales?

Ejemplo de composición de dos extensiones de campo normal que no es normal.

Torre de campos KML. Encuentra el contraejemplo de la afirmación "si L es normal sobre K, entonces M es normal sobre K".

Hace $K/E$ y $E/F$ siendo la media normal $K/F$ ¿es normal?

y probablemente en otros lugares. Pero de alguna manera falta un cálculo explícito. No estoy seguro de que esto ayude. Esto es esencialmente lo mismo que la Wikipedia ejemplo con $\mathbb{D}_{4}$ en lugar de $\mathbb{S}_{3}$ . Recuerdo que este era un conocido execrise de la clase de teoría de Galois de primer año, y por razones desconocidas nunca lo hice.